תחשיב

מספר אינסופי של אקסטרמה יחסית קיים על x ב [-1 / pi, 1 / pi] הם ב- f (x) = + - 1 ראשית, בואו לחבר את נקודות הקצה של המרווח [-1 / pi, 1 / pi] לתוך את הפונקציה כדי לראות את התנהגות סוף. f (-1 / pi) = 1 f (1 / pi) = - 1 הבא, אנו קובעים את הנקודות הקריטיות על ידי הגדרת הנגזרת שווה לאפס. (1 / x) 1 / xcos (1 / x) + 1 / x x 2 2) 1 / x (-Sin (1 / x) 1 / xcos (1 / x) + 1 / (x ^ 2 (1 / x) -Sin (1 / x) = 0 לרוע המזל, כאשר אתה גרף את המשוואה האחרונה, אתה מקבל את הדברים הבאים כי הגרף של נגזרת יש מספר אינסופי של שורשים, הפונקציה המקורית יש מספר אינסופי של אקסטרמה מקומית. זה ניתן לראות גם על ידי התבוננות בגרף של הפונקציה המקורית. עם זאת, קרא עוד »

המינימום הוא 0 ב- x = 0, והמקסימום הוא 4 ^ 4 / e ^ 4 ב- x = 4 שים לב תחילה, ב- [0, oo], f הוא לעולם לא שלילי. יתר על כן, f (0) = 0 כך זה חייב להיות המינימום. f (x) = (x ^ 3 (4-x)) / e ^ x שהוא חיובי (0,4) ושלילי על (4, oo). אנו מסיקים כי F (4) הוא מקסימלי יחסית. מאחר שלפונקציה אין נקודות קריטיות אחרות בתחום, המקסימום היחסי הזה הוא גם המרב המוחלט. קרא עוד »

(x ^ 2 + 5) (2x)) / ((x ^ 2 +5) ^ 2) ^ 2 (x ^ 2 + 5) (x ^ 2 + 5) (2x)) / ((x ^ 2 +5) ^ 2) ^ 2 (x ^ 2 + 5) (x + 2 +5) + (x + 2 +5) + (x + 2 +5) + 4 (y + = = 2x ^ 5 - 20x ^ 2 - 50x + 4x ^ 5 - 100x) / (x ^ 2 +5) ^ 4 y = = (2x ^ 5 - 20x ^ 2 - 150x) / ( x ^ 2 +5) ^ 4 קרא עוד »

מקסימום מוחלט: x = pi / 8 מוחלט דקות. הוא בנקודות הקצה: x = 0, x = pi / 4 מצא את הנגזרת הראשונה באמצעות כלל השרשרת: תן u = 2x; u = = 2, אז y = sinu + cosu u = '(sinu) u' = 2cos2x - 2sin2x מצא מספרים קריטיים על ידי הגדרת y = 0 וגורם: 2 (cos2x-sin2x) = 0 מתי עושה cosu = sinu? כאשר x = u = 2 = pi / 8 מצא את הנגזרת השנייה: y '' = 4sin2x-4cos2x בדוק אם יש לך מקסימום ב- pi / 8 באמצעות הבדיקה הנגזרת השנייה : y '' (pi / 8) ~ ~ -5.66 <0, ולכן pi / 8 הוא המקסימום המוחלט במרווח. בדוק את נקודות הקצה: y (0) = 1; y (pi / 4) = 1 ערכים מינימליים מהתרשים: גרף {sin (2x) + cos (2x) [-.1, .78539816, -.5, 1.54]} קרא עוד »

מינימום: f (x) = -6.237 ב- x = 1.147 מקסימום: f (x) = 16464 ב- x = 7 אנו מתבקשים למצוא את ערכי המינימום והמקסימום הגלובליים עבור פונקציה בטווח נתון. כדי לעשות זאת, אנו צריכים למצוא את הנקודות הקריטיות של הפתרון, אשר ניתן לעשות על ידי לקיחת נגזרת הראשונה ופתרון עבור x: f '(x) = 5x ^ 4 - 3x ^ 2 + 2x - 7 x ~ ~ 1.147 אשר במקרה להיות נקודת קריטית בלבד. כדי למצוא את ה- extrema העולמי, עלינו למצוא את הערך של f (x) ב- x = 0, x = 1.147 ו- x = 7, בהתאם לטווח נתון: x = 0: f (x) = 0 x = 1.147 : f (x) = 6 (x) = = f = x = = 16464 לכן האקסטראמה המוחלטת של פונקציה זו על המרווח x ב- [0, 7] היא מינימלית: f (x) = -6.237 ב- x = 1.147 מקסי קרא עוד »

אין מקסימום. המינימום הוא 0. אין מקסימום כמו xrarr0, sinxrarr0 ו lnxrarr-oo, כך lim_ (xrarr0) ABS (sinx + lnx) = oo אז אין מקסימום. אין מינימום תן g (x) = sinx + lnx וציין ש- g הוא רציף ב- [a, b] עבור כל a חיובי ו- b. g (1) = sin1> 0 "" ו- "g" (e ^ -2) = חטא (e ^ -2) -2 <0. g הוא רציף ב- [e ^ -2,1] שהוא תת קבוצה של (0,9) לפי משפט הערך הבינוני, g יש אפס ב- [e ^ -2,1] שהוא תת קבוצה של (0,9), אותו מספר הוא אפס ל- f (x) = abs ( sinx + lnx) (אשר חייב להיות לא שלילי עבור כל x בתחום.) קרא עוד »

X = ln (5) ו x = ln (30) אני מניח extrema מוחלטת היא "הגדולה ביותר" (המינימום הקטן ביותר או מקסימום מקסימום). אתה צריך f ': x (x) x (x) x x (x) x - x (x) x (x) (x) - חטא (x) (1 + x)) (x ^ 2e ^ x) axx ב [ln (5), ln (30)], x ^ 2e ^ x> 0 אז אנחנו צריכים לחתום (xcos ( x) - חטא (x) (1 + x)) על מנת לקבל את הווריאציות של f. Ax ב [ln (5), ln (30)], f (x) <0 כך f הולך ופוחת בהתמדה על [ln [5], ln (30)]. משמעות הדבר היא כי הקיצוניות שלה הם ב ln (5) & ln (30). המקסימום שלה הוא f (ln (30)) = חטא (ln (30)) (30 ln (30)) (ln) ) קרא עוד »

המינימום המוחלט הוא 0, המתרחש ב- x = 0 ו- x = 20. המקסימום המוחלט הוא 15root (3) 5, המתרחשת ב- x = 5. הנקודות האפשריות שיכולות להיות extrma מוחלטת הן: נקודות מפנה; כלומר נקודות הנקודות שבהן dy / dx = 0 נקודות הקצה של המרווח כבר יש לנו נקודות הקצה שלנו (0 ו -20), אז בואו למצוא נקודות המפנה שלנו: f '(x) = 0 d / dx (x ^ (1/3) 20 × x) = 0 1 / 3x ^ (- 2/3) (20-x) - x ^ (1/3) = 0 (20-x) / (3x ^ (2/3)) = x ^ (3x) = (3x) = 1 20 x x = 3x 20 = 4x 5 = x אז יש נקודת מפנה כאשר x = 5. משמעות הדבר היא כי 3 נקודות אפשריות שעלולות להיות extrema הם : x = 5 "" "x = 20 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~ קרא עוד »

(1, 1 / e) הוא מקסימום מוחלט בתחום הנתון אין מינימום הנגזרת ניתנת על ידי f (x) = (1 (e ^ (x ^ 2)) - x (2x) e ^ (x (^ ^ (X ^ 2) - 2x ^ 2e ^ (x ^ 2)) / (e ^ (x ^ 2) ) ^ 2 ערכים קריטיים יתרחשו כאשר הנגזר שווה ל -0 או לא מוגדר. הנגזרות לעולם לא תהיה בלתי מוגדרת (מכיוון ש- x ^ 2) x ו- x הן פונקציות רציפות ו- e ^ (x ^ 2)! = 0 עבור כל ערך של x. אז אם f '(x) = 0: 0 = e ^ (x ^ 2) - 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) 0 = e ^ (x ^ 2) (1 - 2x ^ 2) כפי שצוין לעיל e ^ (x ^ 2) לעולם לא יהיה שווה 0, אז שלנו שני מספרים קריטיים יתרחשו בפתרון של 0 = 1 -2x ^ 2 2x ^ 2 = 1 x ^ 2 = 1/2 x = + - sqrt (1/2) = + - 1 / sqrt (2) אבל לא אלה שקר בתחום הנתון שלנו.לכן קרא עוד »

יש מקסימום מוחלט של -1.718 ב x = 1 ו מינימום מוחלט של -5.921 ב x = ln8. כדי לקבוע extrma מוחלטת על מרווח, עלינו למצוא את הערכים הקריטיים של הפונקציה שנמצאת בתוך המרווח. לאחר מכן, עלינו לבדוק הן את נקודות הקצה של המרווח והן את הערכים הקריטיים. אלו הם הנקודות שבהן עלולים לקרות ערכים קריטיים. מציאת ערכים קריטיים: הערכים הקריטיים של f (x) מתרחשים בכל פעם f (x) = 0. לכן, עלינו למצוא את נגזרת של f (x). אם כך: "" "f" (x) = 1-e ^ x לכן, הערכים הקריטיים יתרחשו כאשר: "" Msgstr "" "e-x = = 1:" "" "" "" "" "" " x = ln1 = 0 הערך הקר קרא עוד »

ב- x = -1 המינימום וב- x = 3 המקסימום. F (x) = (x-1) / (x + 2 + x + 2) יש נקודות נייחות המאופיינות (df) / dx = = (x-3) (1 + x)) / (2 + x (x + x ^ 2) ^ 2 = 0 0 כך שהם ב x = -1 ו x = 3 האפיון שלהם נעשה ניתוח האות של (d ^ 2f) / (dx ^ 2) = (2 (x (x- 3) x-9)) - 1) / (2 + x + x ^ 2) ^ 3 בנקודות אלה. (d ^ 2f) / (dx ^ 2) (- 1) = 1> 0 -> מינימלי יחסי (d ^ 2f) / (dx ^ 2) (3) = - 1/49 <0-> מקסימום יחסי. מצורף לתפקוד הפונקציה. קרא עוד »

ללא מקסימום מקסימום או minima, יש לנו מקסימום ב x = 16 ו minima ב x = 0 המקסימה תופיע כאשר f (x) = 0 ו- f '' (x) <0 עבור f (x) = (x (X-8 + 2x) x + 8 (x-8) = x + 8) x-8) (X-2) (x-8) (3x-6) = 3 (x-8) (x-2) נראה כי כאשר x = 2 ו- x = 8, יש לנו extrema אבל f (') x = 3 (x-2) 3 (x-8) = 6x-30 וב- x = 2, f = 'x = = 18 וב- x = 8, f' '(x) = 18, 0,16] יש לנו מקסימום מקומי ב x = 2 ו minima המקומי ב x = 8 לא מקסימום מוחלט או מינימום. במרווח [0,16], יש לנו מקסימום ב x = 16 ו minima ב x = 0 (גרף למטה לא נמשך בקנה מידה) גרף {(x + 1) (x-8) ^ 2 + 9 [ 2, 18, 0, 130]} קרא עוד »

המינימום המוחלט הוא -25/2 (ב- x = -sqrt (25/2)). המקסימום המוחלט הוא 25/2 (ב- x = sqrt (25/2)). F (x) x = (x) = (=) = (0) x = 2) x = (25-x ^ 2-x ^ 2) / sqrt (25-x ^ 2) = (25-2x ^ 2) / sqrt (25 x x ^ 2) המספרים הקריטיים של F הם x = + -Sqrt (25/2) שני אלה נמצאים ב [-4,5] .. f (-sqrt (25/2)) = -qqrt (25/2) sqrt (25-25 / 2) = -sqrt ( 25/2) = 25/2) = 25/2 = סימטריה (f הוא מוזר), f (sqrt (25/2)) = 25/2 סיכום: f (-4) = -12 f (- sqrt (25/2) = = 25/2 f (sqrt (25/2)) = 25/2 f (5) = 0 המינימום המוחלט הוא -25/2 (ב- x = -sqrt (25/2)) . המקסימום המוחלט הוא 25/2 (ב- x = sqrt (25/2)). קרא עוד »

(2, 5) ניתן למצוא את ה- extrma המוחלט, עלינו למצוא את הנגזרת הראשונה ולבצע את הנגזרת הראשונה לבדוק כדי למצוא כל מינימום או מקסימום ולאחר מכן למצוא את ערכי y של נקודות הקצה ולהשוות אותם. מצא את הנגזרת הראשונה: f (x) = x - (5x - 2) ^ (1/2) f (x) = 1 - 1/2 (5x - 2) ^ (1/2) (5) f (x) = 1 - 5 / (2sqrt (5x - 2)) מצא ערך קריטי (x) = 0: 1 - 5 / (2sqrt (5x - 2)) = 1 = 5 / 5x - 2 = + - 25/4 מאחר ותחום הפונקציה מוגבל על ידי הרדיקלי: 5x - 2> = 0; "x = = 2/5 אנחנו צריכים רק להסתכל על התשובה החיובית: 5x - 2 = + 25/4 5x = 2/1 * 4/4 + 25/4 = 33/4 x = 33/4 * 1 / 5 = 33/20 ~~ 1.65 מאחר ונקודה קריטית זו היא <2, אנו יכולים להתעלם מ קרא עוד »

(0, 0) נתון: f (x) = x / (x ^ 2 + 25) "על מרווח" [0, 9] נקודות הקצה ומציאת כל המקסימום היחסי או המינימום והשוואת ערכי y שלהם. הערכת נקודות קצה: f (0) = 0/25 = 0 => (0, 0) f (9) = 9 / (9 ^ 2 + 25) = 9 / (81 + 25) = 9/106 => 9) v ^ 2 תן u = x; "" u '= 1; "" = = x ^ 2 + 25; (x = 2 + 25) ^ 2 f (x) = (-x ^ 2 + 0) = 0 = 0, 0 (x + 2 + 25) ^ 2 = 0 (x ^ 2 + 25) ^ 2 * 0 = 0, אנחנו רק צריכים להגדיר את המונה = 0-x ^ 2 + 25 = 0 x ^ 2 = 25 = 5/5 = 2 + 25) = 5/50 = 1 / (5, 1/10) באמצעות הבדיקה הנגזרת הראשונה, הגדר מרווחים כדי לברר אם נקודה זו היא מקסימלית יחסית או מינימום יחסי: מרווחי זמן: "&q קרא עוד »

X = 1 LOCAL MIN: x = 1 נקודת מבט x = 0 אין extrma מקומי משום ש- lim_ (x rarr + -oo) f ( x) rarr + -oo אתה יכול למצוא אקסטרמה מקומית, אם בכלל. כדי למצוא f (x) extrema או Poits קריטי אנחנו צריכים לחשב f (x) כאשר f (x) = 0 => f (x) יש נקודה נייחת (מקס, דקות או נקודת הטיה). לאחר מכן, אנו צריכים למצוא כאשר: f (x)> 0 => f (x) הולך וגדל f (x) <0 => f (x) יורד ולכן: f (x) = d / dx (5x ^ X = 2-1): 'x' = x = 35x ^ 4 (x + 1) (x-1) ) x (1) x (0) = 0 x = (x3) (+3) = + - 1 f (x) 0 x = 0> 0 x x 4> 0 0 x x 1> 0 = x => x-1> 0 => x> 1 ציור העלילה, תמצא f '(x)> 0 ax ב- (, 1) uu (1, + oo) f & קרא עוד »

אנחנו צריכים למצוא את הערכים הקריטיים של f (x) במרווח [1,4]. לכן אנו מחשבים את השורשים של הנגזרת הראשונה כך שיש לנו (df) / dx = 0 => 2x-2 / x ^ 2 = 0 = = 2x ^ 2 (x-2) = 0 => x = 2 אז f ( (5) = 5 + 2 = 4 = 16.5 ערך הפונקציה הגדול ביותר הוא x = 4 ומכאן f (4) ) = 16.5 הוא המקסימום המוחלט ל- f ב [1,4] ערך הפונקציה הקטן ביותר הוא x = 1 ומכאן f (1) = 3 הוא המינימום המוחלט ל- f ב- [1,4] גרף f ב- [1 , 4] הוא קרא עוד »

Extrma המוחלט יכול להתרחש על הגבולות, על extrema מקומי, או נקודות לא מוגדר. תן לנו למצוא את ערכי f (x) על הגבולות x = 3 ו- x = 7. זה נותן לנו f (3) = 1 ו- f (7) = 7/43. לאחר מכן, מצא את extrema המקומית על ידי נגזרת. ניתן למצוא את הנגזרת של f (x) = x (x ^ 2-6) באמצעות כלל המנה: d / dx (u / v) = ((du) / dxv-u (dv) / dx) / v ^ 2 כאשר u = x ו- v = x ^ 2-6. לפיכך, f (x) = - (x ^ 2 + 6) / (x ^ 2-6) ^ 2. אקסטרמה מקומית מתרחשת כאשר f '(x) = 0, אבל בשום מקום ב x ב [3,7] הוא f' (x) = 0. לאחר מכן, מצא נקודות לא מוגדרות. עם זאת, עבור כל x ב- [3,7], f (x) מוגדר. לכן, המשמעות היא שהמקסימום המוחלט הוא (3,2) והמינימום המוחלט הוא ( קרא עוד »

מינימום מוחלט של -1 ב x = 1 ו מקסימום מוחלט של 19 ב x = 3. ישנם שני מועמדים עבור extrema המוחלט של מרווח. הם נקודות הקצה של המרווח (כאן, 0 ו -3) ואת הערכים הקריטיים של הפונקציה ממוקמת בתוך המרווח. ניתן למצוא את הערכים הקריטיים על ידי מציאת הנגזרת של הפונקציה ומציאת ערכים של x היא שווה ל -0. אנו יכולים להשתמש בכללי הכוח כדי לגלות שהנגזרת של f (x) = x + 3-3x + 1 היא f (' x) = 3x ^ 2-3. הערכים הקריטיים הם כאשר 3x ^ 2-3 = 0, אשר מפשט להיות x = + - 1. עם זאת, x = -1 אינו נמצא במרווח כך שהערך הקריטי היחיד כאן הוא זה ב- x = 1. כעת אנו יודעים כי extrma המוחלט יכול להתרחש ב- x = 0, x = 1 ו- x = 3. כדי לקבוע מי הוא, חבר את כולם קרא עוד »

מינימה מקומית. הוא -2187/128. גלובל מינימה = 2187/128 ~ = -17.09. גלובל מקסימה = 64. עבור אקסטרמה, f '(x) = 0. (x-5) (x-2) * 3 (x-5) ^ 2 + (x-5) ^ 3 * 1 = (x-5) ^ 2 {3x-6 + x-5] = (4x -11) (x-5) ^ 2. f '(x) = 0 rArr x = 5! ב [1,4], ולכן אין צורך בקוסידציה נוספת & x = 11/4. (x-5) (x-5) + (x-5) ^ 2 * 4 = = (x = 5) (x-5) ^ 2, rRrr f ' 2 (x-5) {4x-11 + 2x-10} = 2 (x-5) (6x-21). עכשיו, F ("11/4) = 2 (11 / 4-5) (33 / 2-21) = 2 (-9 / 4) (- 9/2)> 0, מראה כי, f (11 / 4) = (11 / 4-2) (11 / 4-5) ^ 3 = (3/2) (- 9/4) ^ 3 = 2187/128, הוא מינימום מקומי. כדי למצוא ערכים גלובליים, אנחנו צריכים f (1) = (1-2) (1-5) ^ קרא עוד »

(-4, -381) ו (8,2211) כדי למצוא את extrema, אתה צריך לקחת את הנגזרת של הפונקציה ולמצוא את שורשי נגזרת. כלומר, עבור d / dx [f (x)] = 0, השתמש כלל הכוח: d / dx [6x ^ 3 - 9x ^ 2-36x + 3] = 18x ^ 2-18x-36 לפתור עבור השורשים: 18x ^ (X-1) (x + 2) = 0 x = 1, x = -2 f (-1) = -6- 9 + 36 + 3 = 24 f (2) = 48-36-72 + 3 = -57 בדוק את הגבולות: f (-4) = -381 f (8) = 2211 לפיכך extrma המוחלטת הם (4, 381) ו- (8,2211) קרא עוד »

המינימום המוחלט הוא 0 (ב- x = 0) והמקסימום המוחלט הוא 1 (ב- x = 1). (x) 2 (1) x = 2-x + 1) x = 2-x + 1) - x (2) (x ^ 2-x + 1) ^ 2 f '(x) אינו מוגדר לעולם, והוא 0 ב- x = -1 (שאינו נמצא ב- [0,3]) וב- x = 1. בדיקת נקודות הקצה של intevral והמספר הקריטי במרווח, אנו מוצאים: f (0) = 0 f (1) = 1 f (3) = 3/7 לכן, המינימום המוחלט הוא 0 (ב- x = 0) המקסימום המוחלט הוא 1 (ב- x = 1). קרא עוד »

סמן את התשובה הבאה עבור x = 0 יש לנו f (0) -e ^ (f (0)) = - 1 אנו רואים פונקציה חדשה g (x) = xe ^ (- x) 1, xinRR g (0 ) = 0, g '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0, xinRR כתוצאה מכך גדל ב- RR. לכן, מכיוון שהוא מקטין את G הוא "1-1" (אחד לאחד) אז, f (0) -e ^ (f (0)) + 1 = 0 <=> g (f (0)) = g ( 0) <=> f (0) = 0 אנחנו צריכים להראות כי x / 2 ^ (x> 0) 1/2 1/2 <(f (x) -f (0)) / (x-0)קרא עוד »

ראה להלן אני לא בטוח 100% על זה, אבל זה יהיה התשובה שלי. ההגדרה של פונקציה אפילו היא f (-x) = f (x) לכן, f (-a) = f (a). מכיוון ש f (a) הוא רציף ו- f (-a) = f (a), אז f (-a) הוא גם רציף. קרא עוד »

Dy / dx = tanh (lnx) / x - tanx אני אוהב להגדיר את הבעיה שווה y אם זה לא כבר. כמו כן זה יעזור במקרה שלנו לשכתב את הבעיה באמצעות מאפיינים של לוגריתמים; y = ln (cush (lnx)) + ln (cosx) כעת אנו עושים שתי החלפות כדי להפוך את הבעיה לקלה יותר לקריאה; נניח w = cosh (lnx) ו- u = cosx כעת; y = ln (w) + ln (u) ahh, אנחנו יכולים לעבוד עם זה :) בואו ניקח את הנגזרת ביחס x של שני הצדדים. (מכיוון שאף אחד מהמשתנים שלנו הוא x זה יהיה הבדלה משתמעת) d / dx * y = d / dx * ln (w) + d / dx * ln (u) ובכן, אנחנו יודעים את הנגזרת של lnx להיות 1 / x באמצעות כלל השרשרת שאנו מקבלים; (dw) / dx + 1 / u * (du) / dx אז בואו נחזור ל- u ו- w ונמצא את הנגזר קרא עוד »

E ^ sqrt (x) / (2sqrt (x)) תחליף כאן יעזור מאוד! נניח כי x ^ (1/2) = u עכשיו, y = e ^ u אנו יודעים כי נגזרת של e ^ x הוא e ^ x כך; (d) / dx = dx = / 2 x x ^ (- 1/2) = 1 / (d / dx = 2xqrt (x)) עכשיו תקע (du) / dx ו- u בחזרה למשוואה: D dy / dx = e ^ sqrt (x) / (2sqrt (x)) קרא עוד »

(1,1) ו- (1, -1) הם נקודות המפנה. y = 3 + 3x ^ 2-x ^ 3 = 3 תוך שימוש בהבחנה משתמעת, dy / dx) 3xtimes2y (dx) / dx + 3y ^ 2x ^ 2 = dy / (dx) (3x ^ 2-y ^ 2)) / (3y (y + 2x) (dy) (dx) (dx) = (dx) = 0 (x ^ 2-y ^ 2) / y (y + y = 2) / y (y + 2x) (X + y) = 0 y = x או y = -x משנה x = x חזרה למשוואה המקורית x ^ 3 + 3x * x ^ 2- x = 3 = 3 3x ^ 3 = 3 x ^ 3 = 1 x = 1 לכן (1) הוא אחד משני נקודות המפנה Sub y = -x בחזרה למשוואה המקורית x ^ 3 + 3x * (x ) 3 = x 3 3 = 3 3x ^ 3 = 3 x ^ 3 = 1 x = 1 לכן, (1, -1) הוא שורש נקודת המפנה השני (3) 3 = 1 - (3) 3 = 1 אז היית חסר נקודת המפנה (1, -1) קרא עוד »

(0, -2) היא נקודת אוכף (-5,3) היא מינימום מקומי אנו מקבלים g (x, y) = 3x ^ 2 + 6x + 2y ^ 3 + 12x-24y ראשית, אנחנו צריכים למצוא את (dlg) / (dely) / (dely) = 6x + 6y ^ 2-24 6 (6) = 6x + 6y + (x + y + 2) = 6 (x + y ^ 2-4) = 0 x + y + 2 = 0 x = -y-2 -y-2 + y ^ 2-4 = 0 y ^ 2- y = 3 = y = 2) y + 2 (= 0 y = 3 או -2 x = -3-2 = -5 x = 2-2 = 0 נקודות קריטיות מתרחשות) 0, -2 (D, x) y (d = 2g) (d = 2g) (delx ^ 2) (d ^ 2g) (d = 2) (delx) / (delx)) = del / (delx) (6x +) (+ dx) (6) + 6y ^ 2-24) = 12 (d + 2g) / dely = (d delx) (d delx) = (delx) = (delx) = (delx) = del / (delx) (delg) / (dely)) = / delx (6x + 6y ^ 2-24) = 6 (del ^ 2g) (6, 6 קרא עוד »

בואו נתחיל לשים כמה הגדרות. אם אנו קוראים h גובה הגודל ואת x הצדדים קטנים יותר (כך שהצדדים הגדולים יותר הם 2x, אנו יכולים לומר כי נפח V = 2x * x * h = 2x ^ 2 * h = 9000 שממנו אנו לחלץ hh = 9000 / (= 2x ^ 2) = 4500 / x ^ 2 כעת עבור המשטחים (= חומר) למעלה ולמטה: 2x * x פעמים 2-> שטח = 4x ^ 2 צלעות קצרות: x * h פעמים 2> שטח = 2xh צדדים: 2x * h פעמים 2 = שטח = 4xh שטח כולל: A = 4x ^ 2 + 6xh החלפת H = 4x ^ 2 + 6x * 4500 / x ^ 2 = 4x ^ 2 + 27000 / x = 4x ^ 2 + 27000x ^ -1 כדי למצוא את המינימום, אנו מבחינים ומציבים 'A ל -0 A' = 8x-27000x ^ -2 = 8x-27000 / x ^ 2 = 0 מה שמוביל ל 8x ^ 3 = 27000-> x ^ 3 = 3375- > קרא עוד »

תחום ההגדרה של: f (x) = 2x ^ 2lnx הוא מרווח x (0, + oo). יש להעריך את הנגזרות הראשונה והשנייה של הפונקציה: df = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4 lnx + 4 = 6 + lnx הנקודות הקריטיות הן הפתרונות של: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 ו- x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) בנקודה זו: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0 אז הנקודה הקריטית היא מינימום מקומי. נקודות האוכף הן הפתרונות של: f (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 וכפי ש (x) הוא מונוטוני, אנו יכולים להסיק כי f (x ) הוא קעור עבור x <1 / e ^ 6 וקעורה עבור x> 1 / e ^ 6 גרף {2x ^ קרא עוד »

לפונקציה זו אין נקודות נייחות (האם אתה בטוח ש- f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2-y / x הוא זה שרצית ללמוד ?!). על פי ההגדרה המפוזרת ביותר של נקודות אוכף (נקודות נייחות שאינן extrma), אתה מחפש נקודות נייחות של הפונקציה שלה בתחום D = (x, y) ב RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) ב- RR ^ 2}. כעת אנו יכולים לשכתב את הביטוי שניתן עבור f בדרך הבאה: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x הדרך לזהות אותם היא לחפש את הנקודות המבטלות את ההדרגה של f, שהוא הווקטור של הנגזרים החלקיים: nabla f = ((del f) / (d x), (del f) / (y y)) מאחר שהתחום הוא קבוצה פתוחה, אין צורך לחפש עבור extrema בסופו של דבר שוכב על הגבול, כי קבוצות פתוחות אין נקוד קרא עוד »

: ("," אוכף "), (" -1 "," אוכף "), ) (= / / 0), "max"):} התיאוריה לזהות את extrema של z = f (x, y) היא: לפתור בו זמנית את המשוואות הקריטיות (חלק f) / (x x) = (y) ו- f_ (xy) (= f_ (yx)) בכל אחת מנקודות קריטיות אלה . מכאן להעריך את דלתא = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 בכל אחת מהנקודות הללו קבעו את אופי האקסטרה; (: 0), "ו מקסימום אם" f_ (yy)> 0), (דלתא <0, "יש נקודה אוכף") , (0 = 0, + 0x + 2 + y + 2), נגלה את הפיצויים החלקיים הראשונים: (2) + 2 x + 2 + y + 2 + 10x (חלקיק ו) / (y חלקי) = 2xy + 2y אז המשוואות הקריטיות שלנו הן: 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 2x + 2 קרא עוד »

יש לנו: f (x, y) = 6sin (x) חטא ^ 2 (y) = -6sinxsin ^ 2y שלב 1 - מצא את הנגזרים החלקיים אנו מחשבים את הנגזרות החלקיות של פונקציה של שני משתנים או יותר על ידי הבחנה בין משתנה אחד, כאשר המשתנים האחרים מטופלים כמשתנים קבועים. כך: הנגזרים הראשונים הם: f_x = -6 cosxsin ^ 2y f_y = -6 sinx (2sinycosy) / = xinxsin2y הנגזרים השני (מצוטטים) הם: f_ (xx) = 6sinxsin ^ 2y f_ (yy) = -6inx (Cx2y) = -12sinxcos2y הנגזרים החלקיים השנייים הם: f_ (xy) = -6 cosxsin2y f_ (yx) = -6 cosx (2sinycosy) = -6 cosxsin2y שים לב כי הנגזרים הנגזרים החלקיים השניים הם זהה עקב המשכיות של f (x, y). שלב 2 - זיהוי נקודות קריטיות נקודה קריטית מתרחשת בפתר קרא עוד »

X = pi / 2 ו- y = pi x = pi / 2 ו- y = -pi x = -pi / 2 ו- y = pi x = -pi / 2 ו- y = -pi x = pi ו- y = pi / 2 x = pi ו- y = -pi / 2 x = -pi ו- y = pi / 2 x = -pi ו- y = -pi / 2 כדי למצוא את הנקודות הקריטיות של פונקציה דו-משתנה, עליך לחשב את מעבר הצבע, הוא וקטור cointaining נגזרים לגבי כל משתנה: (d / dx f (x, y), d / dy d (x, y) אז, יש לנו d / dx f (x, y) = 6cos (x ) חטא (y), ובדומה d / dy d (x, y) = 6sin (x) cos (y). כדי למצוא את הנקודות הקריטיות, הדרגתי חייב להיות וקטור אפס (0,0), כלומר, פתרון של המערכת (6cos (x) sin (y) = 0), (6sin (x) cos (y) = 0):} אשר כמובן ניתן לפשט להיפטר של 6: {(cos (x) חטא (y) = 0), (חטא (x) cos (y קרא עוד »

{0,0} נקודת האוכף {0, -2} המקסימום f המקסימלי (x, y) = e ^ y (y ^ 2-x ^ 2) כך הנקודות הנקודות נקבעות על ידי פתרון g f (x, y) = (0 = y = + y ^ y (x = 2 + y ^ 2) = 0 =) 0 = 0) ) (x = 0, y = -2)) נקודות אלה מתאימות באמצעות H = grad (גרד f (x, y)) או H = ((2 - e e y, -2 e ^ yx, (0, 0) = (2, 0), (0, 2). )) יש eigenvalues {-2,2}. תוצאה זו מסמיכה את הנקודה {0,0} כנקודת אוכף. H (0, -2) = (= - 2 / e ^ 2, 0), (0, -2 / e ^ 2)) יש ערכים eigen {-2 / e ^ 2, -2 / e ^ 2}. תוצאה זו מסמיכה את הנקודה {0, -2} כמקובל מקומי. מצורף F (x, y) מפת גובה ליד נקודות עניין קרא עוד »

הנקודות (0,0), (1,0) ו- (0,1) הן נקודות אוכף. הנקודה (1 / 3,1 / 3) היא נקודה מקסימלית מקומית. אנו יכולים להרחיב את f ל- f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2. לאחר מכן, למצוא נגזרים חלקית ולהגדיר אותם שווה לאפס. frac {{part f} { part x} = y-2x-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 frac { part f} { part y} = xx ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 ברור, (x, y) = (0,0), (0), (0,1) הם פתרונות למערכת זו, וכך גם נקודות קריטיות של f. הפתרון השני ניתן למצוא מהמערכת 1-2x-y = 0, 1-x-2y = 0. פתרון המשוואה הראשונה עבור y במונחים של x נותן y = 1-2x, אשר יכול להיות מחובר למשוואה השנייה כדי לקבל 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3. מכאן, y = 1-2 (1/3) = 1-2 / קרא עוד »

נקודת האוכף ממוקמת ב {x = -63/725, y = -237/725} הנקודות הנייחות נקבעות לפתרון עבור {x, y} grad f (x, y) = ((+9 x 2 + 27 y ), (3 + 27 x + 2 y)) = vec 0 קבלת התוצאה {x = -63/725, y = -237/725} ההסמכה של נקודה נייחת זו נעשית לאחר התבוננות בשורשים מן הפולינום המשויך המשויך אל המטריצה הסיאנית שלה. המטריצה של הסיאן מתקבלת באמצעות H = ggr (x, y) (= 2,27), (27,2)) עם P פולינום (lambda) = lambda = 2 "Trace" (H) lambda + det (l) = lambda ^ 2-4 lambda-725 פתרון עבור lambda אנו מקבלים lambda = {-25,29} אשר אינם אפס עם סימן הפוך המאפיין נקודה אוכף. קרא עוד »

לא מצאתי נקודות אוכף, אבל היה מינימום: f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3 כדי למצוא את extrema, לקחת את נגזרת חלקית ביחס x ו- y כדי לראות אם שני נגזרים חלקית יכול (delf) (delf) / (delf)) (x = x + 2y + 1) אם הם בו זמנית חייבים להיות שווים 0, הם יוצרים מערכת של משוואות: (X = 1/3) => x + 2y + 1 = 0 0 0 0 0 0 0 = 2 (1/3) + y = 0 => צבע (ירוק) (y = -2 / 3) מאז המשוואות היו לינאריות, היתה רק נקודה קריטית אחת, ולכן רק אחד קיצוני. הנגזרת השנייה תספר לנו אם זה היה מקסימלי או מינימלי. (d ^ 2f) / (delx ^ 2)) (= d = 2)) _ = = (= ^ d = 2f) (= d = 2)) _ x = 2 החלקים האלה הם בהסכמה, כך שהגרף קעורה, לאורך x ו- y צירים. הערך של f (x, y) בנקודה קרא עוד »

V = pi-1 / 4pi ^ 2 הנוסחה למציאת נפח מוצק המיוצר על ידי סיבוב פונקציה f סביב ציר x הוא V = int_a ^ bpi [f (x]] ^ 2dx אז עבור f (x) = cotx, את עוצמת מוצקה של המהפכה בין pi "/" 4 ו pi "/" 2 הוא V = int_ (pi "/ 4) ^ (pi" / 2) pi (cotx) ^ 2dx = piint_ (pi (Pi "/) 2) ci ^ 2x-1dx = -pi [cotx + x] _ (pi" (Pi / 2-pi / 4)) = pi-1 / 4pi ^ 2 (pi / 2-pi / 4) קרא עוד »

אוכף נקודת המוצא. יש לנו: f (x, y) = x ^ 2y-x ^ 2x וכך אנו נגזרים את הנגזרות החלקיות. זכור כאשר ההבדל בין חלקי אנו להבדיל wrt המשתנה המדובר תוך התייחסות המשתנים האחרים כמו קבוע. כך: (חלקו החלקי) / (x החלקי) = 2x-y ^ 2 ו (חלקית f) / (y חלקי) = x ^ 2-2yx בנקודות extrma או אוכף יש לנו: (0/0/0/0/0/0/0/0 / y) 0 / 2 x-y = 0 = x = 1 / 2y x ^ 2-2yx = 0 = x (x-2y) = 0 = x = 0, x = 1 / 2y יש רק אחד (0,0). כדי לקבוע את טיב הנקודה הקריטית, נדרשים אנליסטים של סדרת טיילור הרב-משתנה ותוצאות הבדיקות הבאות: דלתא = (חלקי ^ 2 f) / (x ^ 2 חלקי) (חלקית ^ 2 f) / (חלקי) y = 2) - (חלקית ^ 2 f) / (חלקי x y חלקית)} ^ 2 <0 => נקודת אוכף אז א קרא עוד »

הנקודה (x, y) = (27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) בערך (1.26694,16437) היא נקודת מינימום מקומית. הנגזרות החלקיות מסדר ראשון הן (חלקיות f) / (x x) = y-3x ^ {- 4} ו- (חלק f) / (y חלקי) = x-2y ^ {- 3}. הגדרת שני אלה שווה לאפס התוצאות במערכת y = 3 / x ^ (4) ו- x = 2 / y ^ {3}. הזנת המשוואה הראשונה לתוך השני נותן x = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27. מאז x = 0 = בתחום f, התוצאה היא x ^ {11} = 27/2 ו- x = (27/2) ^ {1} כך ש- y = 3 / (27/2) ^ {4/11}) = 3 * (2/27) ^ {4/11} הנגזרים החלקיים של הסדר השני הם (חלקיים ^ {2} f) / (x ^ {2}) = 12x ^ {- 5 } (החלקי ^ {2} f) / (חלקי y ^ {2}) = 6y ^ {- 4}, ו- (חלקית ^ {2} f) / (חל קרא עוד »

יש לנו אקסטרמה אחת ב (3,3,27) יש לנו: f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y ולכן אנו נגזרים את הנגזרים החלקיים: (חלקיק) / (x x) = y (0/0/0/0/0/0/0/0/0/0/0/0/0) / ו (חלקית) / (y חלקי) = 0 בו זמנית: כלומר פתרון סימולטני של: y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 x 27 / y ^ 2 = = = xy ^ 2 = 27 הפחתת משוואות אלה נותנת: x ^ 2y-xy ^ 2 = 0:. xy (x-y) = 0:. x = 0; y = 0; x = y אנו יכולים לבטל x = 0; y = 0 ו- x = y = 3, יש לנו: f (3,3) = 9 + x = y = 9 + 9 = 27 מכאן יש רק נקודה קריטית אחת המתרחשת ב (3,3,27) אשר ניתן לראות על מגרש זה (הכולל את המטוס המשיק) קרא עוד »

(0/0) היא נקודת אוכף (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) ו (-1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) הם מקסימום המקומי (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) ו (-1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) הם מינימום מקומי (0, pm 1 / sqrt 2) ו (pm 1 / sqrt 2,0) הם נקודות של גוון. (X_0, xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 (2!). (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} ו- ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots עבור הפונקציה f (x) = xy e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} יש לנו (x-2) y = {x = 2-y ^ 2} qquad = y (1-2x ^ 2) (^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ - ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ - ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 2 qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} קל לראות כי שני הנגזרים הראשונים נעלמים ב ponrs הבאים (0,0) (0, PM 1 / sqrt2) (pm 1 / s קרא עוד »

שלב 1 - מצא את הנגזרים החלקיים אנו מחשבים את הנגזרת החלקית של פונקציה של שני משתנים או יותר על ידי הבחנה בין משתנה אחד, בעוד שהמשתנים האחרים מטופלים כמשתנים קבועים. כך: הנגזרים הראשונים הם: f_x = y + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) (-2x) = y - x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) f_y = x + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) (-2y) = x - y e ^ (x ^ 2-y ^ 2) הנגזרים השני (מצוטטים) הם: f_ (xx) = -2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (x ^ 2-y ^ 2) f_ (yy) = -2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ ( -x ^ 2-y ^ 2) f_ (yx) = 1 + 4xye ^ (x - 2) - 2 ^) שים לב כי הנגזרים הנגזרים החלקיים השניים זהים בגלל המשכיות f (x, y). שלב 2 - זיהוי נקודות קריטיות נקודה קריטית מתרחשת בפתרון סימולט קרא עוד »

{: ("נקודה קריטית", "מסקנה"), (0,0,0), "אוכף"):} התיאוריה לזהות את extrema של z = f (x, y) היא: לפתור בו זמנית את המשוואות הקריטיות (x) (f) x (0) (f) x (0) f (y =), (yx)) בכל אחת מנקודות קריטיות אלה. מכאן להעריך את דלתא = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 בכל אחת מהנקודות הללו קבעו את אופי האקסטרה; (: 0), "ו מקסימום אם" f_ (yy)> 0), (דלתא <0, "יש נקודה אוכף") , (0 = 0), "ניתוח נוסף הוא הכרחי"): אז יש לנו: f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) "= = xye ^ ( (x ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) נביא את הנגזרות החלקיות הראשונות: (חלקיקי f) / (x) = y (2) + {(-xy) (2xe ^ ( קרא עוד »

תמיד להתחיל עם סקיצה של הפונקציה על המרווח. במרווח [1,6], התרשים נראה כך: כפי שנצפה בתרשים, הפונקציה גדלה מ 1 עד 6. לכן, אין מינימום מקומי או מקסימום. עם זאת, האקסטראמה המוחלטת תתקיים בנקודות הקצה של המרווח: מינימום מוחלט: f (1) = 11 מקסימום מוחלט: f (6) = 1/216 + 60 ~~ 60.005 תקווה שסייעה קרא עוד »

מקס F = 1. אין מינימום. y = f (x) = 1-sqrtx. גרף מוכנס. זה מייצג פרבולה למחצה, ברבעונים Q_1 ו- Q_4, כאשר x> = 0. מקס y בסוף (0, 1). כמובן, אין מינימום. שים לב, כמו x to oo, y ל-. משוואת האב היא (y-1) ^ 2 = x שניתן להפריד אותה ל- y = 1 -sqrtx. גרף {y + sqrtx-1 = 0 [-2.5, 2.5, -1.25, 1.25]} קרא עוד »

יש מינימום עולמי של 2 ב x = -1 ו מקסימום גלובלי של 27 ב x = 4 על מרווח [-2,4]. גלגול חיצוני יכול להתרחש במרווח באחד משני מקומות: בנקודת קצה או בנקודה קריטית בתוך המרווח. נקודות הקצה, אשר נצטרך לבדוק, הן x = -2 ו- x = 4. כדי למצוא נקודות קריטיות, מצא את הנגזרת והגדר אותה שווה ל -0. F (x) = 2 (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 2 + 2x + 3 באמצעות כלל הכוח, f (x) = 2x + 2 הגדרה שווה ל 0, 2x + 2 = 0 "=" "" x = -1 יש נקודה קריטית ב - x = -1, מה שאומר שהיא יכולה להיות גם קיצונית גלובלית. בדוק את שלוש הנקודות שמצאנו כדי למצוא את המקסימום והמינימום עבור המרווח: f (-2) = 2 + (- 2 + 1) ^ 2 = 3 f (-1) = 2 + (- 1 + 1) ^ 2 = 2 f קרא עוד »

F (x) יש מקסימום מוחלט של -1 ב x = 1 f (x) = -2x ^ 2 + 4x-3 f (x) הוא continious על [-oo, + oo] מאז f (x) הוא פרבולה (x) = 0 f (x) = -4x + 4 = 0 -> x = 1 f ( 1) = -2 + 4-3 = -1 כך: f_max = (1, -1) תוצאה זו ניתן לראות בתרשים f (x) להלן: גרף {-2x ^ 2 + 4x-3 [-2.205 , 5.59, -3.343, 0.554]} קרא עוד »

X_1 = -2 הוא מקסימום x_2 = 1/3 הוא מינימלי. תחילה אנו מזהים את הנקודות הקריטיות על ידי השוואת הנגזרות הראשונה לאפס: f (x) = 6x ^ 2 + 10x -4 = 0 נותן לנו: x = frac (-5 + - sqrt (25 + 24)) 6 = 5 + x = = 1/3 כעת אנו לומדים את הסימן של הנגזרת השנייה סביב הנקודות הקריטיות: f '' (x) = 12x + 10 כך: f '' (- 2) <0 זה x_1 = -2 הוא מקסימלי f '' (1/3)> 0 כלומר x_2 = 1/3 הוא מינימום. גרף {2x ^ 3 + 5x ^ 2-4x-3 [-10, 10, -10, 10]} קרא עוד »

המינימום המוחלט על התחום מתרחש בכ. (pi / 2, 3.7124), ואת מקסימום מוחלט על התחום מתרחשת על כ. (3pi / 4, 5.6544). אין אקסטרמה מקומית. לפני שאנחנו מתחילים, זה חייב לנו לנתח ולראות אם החטא x לוקח על ערך 0 בכל נקודה על המרווח. חטא x הוא אפס עבור כל x כך x = npi. pi / 2 ו 3pi / 4 הן פחות מ pi וגדול מ 0pi = 0; ולכן, חטא x לא לוקח על הערך של אפס כאן. על מנת לקבוע זאת, יש לזכור שקיצוניות מתרחשת כאשר f (x) = 0 (נקודות קריטיות) או באחת מנקודות הקצה. זה בחשבון, אנו לוקחים את הנגזרת של f (x), ולמצוא נקודות שבו נגזר זה שווה 0 (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x) = 3 - d / dx (1 / sinx) כיצד עלינו לפתור את המונח האחרון? קחו בקצרה קרא עוד »

F (x) יש מינימום ב x = 2 לפני שתמשיך, שים לב כי מדובר פרבולה מול כלפי מעלה, כלומר אנו יכולים לדעת ללא חישוב נוסף כי זה יהיה מקסימום, מינימום אחד על קודקודו. ההשלמה של הריבוע תציג לנו את ה- f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1, נותן את הקודקוד, ולכן המינימום היחיד, ב- x = 2. בואו נראה איך זה ייעשה עם חצץ, אם כי. כל אקסטרמה תתרחש בנקודה קריטית או בנקודת קצה של המרווח הנתון. כאשר המרווח הנתון שלנו (-oo, oo) פתוח, אנו יכולים להתעלם מן האפשרות של נקודות קצה, וכך נזהה תחילה את הנקודות הקריטיות של הפונקציה, כלומר הנקודה בה נגזרת הפונקציה היא 0 או לא קיים. x = 2 6x-12 = 0 = x = 12/6 = x = 2 6x-12 = 0 = x = 12 x 6 = 2 עכשיו, אנחנו יכולים לבדוק קרא עוד »

בוא נראה. תן את הפונקציה להיות y כך rarr y = f (x) = - x ^ 2 + 2x + 3 עכשיו הבדל wrt x: dy / dx = -2x + 2 עכשיו נגזר סדר השני הוא: (d ^ 2y) / dx ^ 2 = -2 כעת, הנגזרת השנייה היא שלילית. לפיכך, הפונקציה יש רק extrma & לא minima. לכן הנקודה של מקסימה היא -2. הערך המרבי של הפונקציה הוא f (-2). מקווה שזה עוזר:) קרא עוד »

בוא נראה. תן את הפונקציה ניתנה y כך rarr עבור כל ערך של x בטווח נתון. (d = 2y) / dx ^ 2 = -6 כעת, מכיוון שהנגזרת השנייה של הפונקציה היא: y = f (x) = 3x ^ 2 + 30x-74: שלילי, הערך של f (x) יהיה מקסימלי. לפיכך, נקודת מקסימום או extrema ניתן להשיג רק. עכשיו, אם עבור מקסימום או minima, dy / dx = 0:. 6x + 30 = 0: .6 x = 30: .x = 5 לכן, נקודת מקסימה היא 5. (תשובה). לכן, הערך המקסימלי או הערך הקיצוני של f (x) הוא f (5). (5) = 5 = = 2 + 30.5-74: (5) = - 75 + 150-74: .f (5) = 150-149: .f (5) = 1 . מקווה שזה עוזר:) קרא עוד »

הפונקציה אינה מכילה אקסטרמה. מצא f '(x) באמצעות כלל המנה. (x (2-1) (x ^ 2-1) d / dx (3x) -3xd / dx (x ^ 2-1)) (x ^ 2-1) ^ 2 => (3 (x ^ 2 -1) x (2x) 1) (/ x ^ 2-1) ^ 2 => (- 3 (x ^ 2 + 1)) (x ^ 2-1) ^ 2 מצא את נקודות המפנה של הפונקציה. אלה מתרחשים כאשר הנגזרת של הפונקציה שווה ל- 0. f (x) = 0 כאשר המונה שווה ל- 0. -3 (x ^ 2 + 1) = 0 x ^ 2 + 1 = 0 x ^ 2 = -1 f ' (x) הוא אף פעם לא שווה 0. לכן, הפונקציה אין extrma. גרף {(3x) / (x ^ 2-1) [-25.66, 25.66, -12.83, 12.83]} קרא עוד »

לפונקציה יש מינימום ב- x = 3 כאשר f (3) = - 35 f (x) = 4x ^ 2-24x + 1 הנגזרת הראשונה נותנת לנו את הדרגתי של הקו בנקודה מסוימת. אם זה נקודה נייחת זה יהיה אפס. (x) = 8x-24 = 0: .8x = 24 x = 3 כדי לראות איזה סוג של נקודה נייחת יש לנו אנחנו יכולים לבדוק כדי לראות אם נגזרת 1 הוא גדל או יורד. זה ניתן על ידי סימן של נגזרת 2: F '' (x) = 8 מאז זה הוא + יש נגזרת 1 חייב להיות הגדלת המציין מינימום עבור f (x). גרף {(4x ^ 2-24x + 1) [-20, 20, -40, 40]} כאן f (3) = 4xx3 ^ 2- (24xx3) + 1 = -35 קרא עוד »

מקס על x = 1 ו- Min x = 0 קח את הנגזרת של הפונקציה המקורית: f (x) = 18x-18x ^ 2 הגדר אותה שווה ל 0 כדי למצוא היכן הפונקציה הנגזרת תשתנה בין חיובי לשלילי , זה יגיד לנו כאשר הפונקציה המקורית תהיה שינוי המדרון שלה חיובי לשלילי. 0 = 18x-18x ^ 2 פקטור 18x מהמשוואה 0 = 18x (1-x) x = 0,1 יצירת קו וחתך את הערכים 0 ו- 1 ציינו את הערכים לפני 0, אחרי 0, לפני 1, ואחרי 1 ואז לציין אילו חלקים של העלילה קו חיובי והם שליליים. אם העלילה עוברת משלילי לחיוב (נקודת נמוכה לנקודה גבוהה) היא מינימום אם היא עוברת מחיוב לשלילי (גבוה עד נמוך) היא מקסימלית. כל הערכים לפני 0 בפונקציה הנגזרת הם שליליים. אחרי 0 הם חיוביים, אחרי 1 הם שליליים. אז זה גרף קרא עוד »

מצא את הערכים הקריטיים על המרווח (כאשר f (c) = 0 או לא קיים). f (x) = 64-x ^ 2 f (x) = - 2x set f '(x) = 0. -2 x = 0 x = 0 ו- f '(x) מוגדר תמיד. כדי לאתר את ה- extrema, חבר את נקודות הקצה ואת הערכים הקריטיים. שים לב כי 0 מתאים לשני קריטריונים אלה. (0) = 64 = x ^ 2 [-8, 0, -2, 66], קרא עוד »

F (x)> 0. מקסימום f (x) isf (0) = 1. ציר ה- x הוא אסימפטוטי ל- f (x), בשני הכיוונים. (x = 2) = 0, x = 0. y '' = - 2e ^ (x - 2) - x (- (X = 0, y = 0 ו- y '<0. ), כנדרש, . 1 ב- [-.5, a], a> 1. x = 0 הוא אסימפטוטי ל- f (x), בשני הכיוונים. כמו כן, גרף y = f (x) = e ^ (- x ^ 2) הוא עקומת ההסתברות הנורמלית (1 = 1 / sqrt (2 pi)), עבור התפלגות ההסתברות הנורמלית, עם ממוצע = 0 וסטיית תקן = 1 / sqrt 2 קרא עוד »

מקסימום מוחלט של -512 ב x = 8 ו מקסימום מוחלט של 1/32 ב x = 1/16 בעת מציאת extrema על מרווח, ישנם שני מיקומים שהם יכולים להיות: ערך קריטי, או באחד נקודות הקצה של המרווח. כדי למצוא את הערכים הקריטיים, למצוא את הנגזרת של הפונקציה ולהגדיר את זה שווה ל 0. מאז f (x) = - 8x ^ 2 + x, באמצעות כלל הכוח אנו יודעים כי f (x) = - 16x + 1. הגדרה זו שווה ל- 0 משאיר אותנו עם ערך קריטי אחד ב- x = 1/16. לכן, המיקומים שלנו עבור מקסימום ומינימום פוטנציאליים נמצאים ב- x = -4, x = 1/16 ו- x = 8. מצא כל אחד מערכי הפונקציה שלהם: f (4) = - 8 (-4) ^ 2-4 = ul (-132) f (1/16) = - 8 (1/16) ^ 2 + 1/16 = 1/32 + 1/16 = ul (1/32) f (8) = - 8 (8) ^ 2 + 8 = קרא עוד »

X = -3 או x = -1 f = e ^ x, g = x ^ 2 + 2x + 1 f '= e ^ x, g' = 2x + 2 f '(x) = fg' + gf '= e (x + 2 + x ^ 2 + 2x + 1) = 0 e ^ x (x ^ 2 + 4x + (0 + x = 0 = x + 1 = 0) x + 1 (x + 1) = 0 = x 0 = 0 או x + 3 = 0 או x + 1 = 0 לא אפשרי, x = -3 או x = -1 f ( 3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 0.199-> max f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0-> min קרא עוד »

אקסטרמה הוא x = 2; (x) = 0 f (x) = 2x -4 = 0; תסתכל על הגרף זה יעזור. גרף {x ^ 2-4x + 3 [-5, 5, -5, 5]} עבור x. בדרך כלל אתה מוצא את הנגזרת הראשונה ואת הנגזרת השנייה כדי למצוא את extrema, אבל במקרה זה זה טריוויאלי פשוט למצוא את הנגזרת הראשונה. למה? אתה אמור להיות מסוגל לענות על זה נתון f (x) = x ^ 2 - 4x + 3; f '(x) = 2x -4; f '' = 2 קבוע עכשיו להגדיר f '(x) = 0 ולפתור עבור ==> x = 2 קרא עוד »

פקטורינג את השלילי: f (x) = - [sin = 2 (ln (x ^ 2)) + cos ^ 2 (ln (x ^ 2))] נזכיר כי החטא ^ 2theta + cos ^ 2theta = 1: f ( x) = 1 - f הוא פונקציה קבועה. אין לו extrema יחסית הוא -1 עבור כל הערכים של x בין 0 ל 2pi. קרא עוד »

(X) = x (x) = cos (x) = 0 לפתור: חטא (x) = cos (x) עכשיו, או להשתמש במעגל יחידה או לשרטט גרף של שתי פונקציות כדי לקבוע היכן הם שווים: על מרווח [0,2pi], שני הפתרונות הם: x = pi / 4 (מינימום) או (5pi) / 4 (מקסימום) מקווה זה עוזר קרא עוד »

המינימום הוא f (9), והמקסימום הוא f (-4). f '(x) = 2x-192, כך שאין מספרים קריטיים עבור f במרווחי הזמן שנבחרו. לכן, המינימום והמקסימום מתרחשים בנקודות הקצה. f (4) = 16 + 192 (4) +8 הוא בבירור מספר חיובי ו- f (9) = 81-192 (9) +4 הוא בבירור שלילי. אז, המינימום הוא f (9), ואת המקסימום הוא f (-4). קרא עוד »

(3,2) הוא מינימום. (1,6) ו (6,11) הם מקסימום. יחסית extrma להתרחש כאשר f (x) = 0. כלומר, כאשר 2x-6 = 0. כלומר כאשר x = 3. כדי לבדוק אם x = 3 הוא מינימלי או מקסימלי יחסית, אנו רואים כי f) 3 (> 0 ו- so = = x = הוא מינימלי יחסי, דהיינו, 3, f) 3 () = 3 , 2) הוא מינימלי יחסית וגם מינימום מוחלט שכן היא פונקציה ריבועית. מאז f (1) = 6 ו- f (6) = 11, זה מרמז כי (1,6) ו (6,11) הם מקסימום מוחלט על מרווח [1,6]. גרף {x ^ 2-6x + 11 [-3.58, 21.73, -0.37, 12.29]} קרא עוד »

(5, 21/4) = (2.5, 5.25) מצא את הנגזרת הראשונה: f (x) '= -2 x + 5 מצא את המספר הקריטי (ים): f' (x) = 0; x = 5/2 השתמש במבחן הנגזרת השני כדי לראות אם המספר הקריטי הוא מקסימלי יחסית. או דקות יחסי: f '' (x) = -2; f '' (5/2) <0; מקסימלי יחסי ב x = 5/2 מצא את ערך y של המקסימום: f (5/2) = - (5/2) ^ 2 + 5 (5/2) - 1 = -25/4 + 25/2 -1 = = 4/4 + 50/4 - 4/4 = 21/4 מקסימלי (5/2, 21/4) = (2.5, 5.25) קרא עוד »

הפונקציה יש מינימום ב x = 4 גרף {x ^ 2-8x + 12 [-10, 10, -5, 5]} בהתחשב - y = x ^ 2-8x + 12 dy / dx = 2x-8 dy / dx = 0 => 2x-8 = 0 x = 8/2 = 4 (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2> 0 x = 4; dy / dx = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2)> 0 לכן יש לפונקציה מינימום ב- x = 4 קרא עוד »

הפונקציה הנתונה תמיד יורדת ולכן אין לה מקסימום ולא מינימום הנגזרת של הפונקציה היא y (= 2x (x ^ 2-3x) -x ^ 2 (2x-3)) (x ^ 2-3x) ^ (2x = 3) x = 2x (2x ^ 3) + 3x ^ 2) (x ^ 2-3x) = 2 = (3x ^ 2) / (x ^ 2-3x) ^ 2 ו- y 0 x x ב [4, 9] הפונקציה הנתונה הפונקציה תמיד יורדת ולכן אין לה גרף מקסימלי או מינימלי {x ^ 2 / (x ^ 2-3x) +8 [-0.78, 17] , 4.795, 13.685]} קרא עוד »

יש לנו minima ב x = 0 ו נקודת הטיה ב x = 3 מקסימום היא נקודה גבוהה שבה פונקציה עולה ואז נופל שוב. ככזה המדרון של המשיק או את הערך של הנגזרות בנקודה זו יהיה אפס. יתר על כן, כמו המשיקים משמאל מקסימה יהיה משופע כלפי מעלה, ואז משוטח ואז משתפל כלפי מטה, המדרון של המשיק יהיה ירידה מתמדת, כלומר הערך של נגזרת השני יהיה שלילי. מינימה לעומת זאת היא נקודה נמוכה שבה פונקציה נופל ואז עולה שוב. ככזה משיק או את הערך של נגזרת במינימה מדי יהיה אפס. אבל, כמו המשיקים שמאלה של minima יהיה משופע כלפי מטה, ולאחר מכן שיטוח ולאחר מכן משופע כלפי מעלה, המדרון של המשיק יהיה הולך וגדל בהתמדה או את הערך של נגזרת השני יהיה חיובי. אם הנגזר השני הוא אפס קרא עוד »

מינימום: f (-2) = 1 מקסימום: f (+2) = 9 שלבים: הערכת נקודות הקצה של התחום הנתון f (-2) = (2) ^ 3-2 (-2) +5 = -8 + 4 + 5 = צבע (אדום) (1) f (+2) = 2 ^ 3-2 (2) +5 = 8-4 + 5 = צבע (אדום) (9) הערכת הפונקציה בנקודות קריטיות כלשהן בתוך התחום. כדי לעשות זאת, מצא את הנקודות שבתוך התחום כאשר f (x) = 0 f (x) = 3x ^ 2-2 = 0 rarrx ^ 2 = 2/3 rarr x = sqrt (2/3) או "x = = sqrt (2/3) f (sqrt (2/3)) ~ ~ צבע (אדום) (3.9) (ו, לא, אני לא להבין את זה ביד) f (-qqrt (2 / / / / / / / / / / / / / / / /) 1 = x x = -2 מקסימום של צבע (אדום) (1,9,3.9) , 6.1)} = 9 = x = + 2 הנה התרשים למטרות אימות: גרף {x ^ 3-2x + 5 [-6.084, 6.4, 1.095, 7.335]} קרא עוד »

הקיצוניות של הפונקציה היא (4.5, -0.25) f (x) = (x-4) (x-5) ניתן לשכתב ל- f (x) = x ^ 2 - 5x - 4x + 20 = x ^ 2- 9x + 20. אם נגזרת את הפונקציה, אתה בסופו של דבר עם זה: F '(x) = 2x - 9. אם אתה לא איך לגזול פונקציות כאלה, לבדוק את התיאור למטה. אתה רוצה לדעת איפה f '(x) = 0, כי זה המקום שיפוע = 0. שים f' (x) = 0; 2x - 9 = 0 2x = 9 x = 4.5 ואז לשים את הערך של x לתוך הפונקציה המקורית. (4.5) = 4.5 (4) (4.5-5) f (4.5) = 0.5 * (-0.5) f (4.5) = -0.25 קורס Crach על איך לגזרות סוגים אלה של פונקציות: הכפל את המעריך עם הבסיס (x) = 3 * 3x ^ (3-1) - 2 * 2x ^ (2 - 3x) 2 - 2x + 3 f = 1x - 2x ^ 0 'f (x) = 9x ^ 2 - 2x - 2 קרא עוד »

מצא את הערכים הקריטיים של f (x) על המרווח [0,5]. (x ^ 2 + 9) d / dx [x] -xd / dx [x ^ 2 + 9]) / (x ^ 2 + 9) ^ 2 f '(x) = (x ^ 2 + 9-2x ^ 2) (x ^ 2 + 9) ^ 2 f (x) = = (x ^ 2-9) / (x ^ 2 + 9) ^ 2 f (x) = 0 כאשר x = + - 3. f (x) לעולם לא מוגדר. כדי למצוא את ה- extrema, חבר את נקודות הקצה של המרווח ואת כל המספרים הקריטיים בתוך המרווח f (x), אשר במקרה זה הוא רק 3. f (0) = 0larr "מינימום מוחלט" f (3) = 1 / 6larr "מקסימום מוחלט" f (5) = 5/36 בדוק תרשים: גרף {x / (x ^ 2 + 9) [-0.02, 5, -0.02, 0.2]} קרא עוד »

אין אקסטרמה מוחלטת, וקיומו של אקסטרמה יחסית תלוי בהגדרתך של אקסטרמה יחסית. f (x) = x / (x-2) מגביר ללא כבול כמו xrarr2 מימין. כלומר, לפונקציה אין מקסימום מוחלט על [-5,5] f ירידות ללא כפות כמו xrarr2 משמאל, ולכן אין מינימום מוחלט על [-5 [xrarr2 ^ +) , 5]. עכשיו, f (x) = (-2) / x-2) ^ 2 הוא תמיד שלילי, לכן, לוקח את התחום להיות [-5,2] uu (2,5), הפונקציה יורדת על [ 5,2) וב- (2,5) זה אומר לנו ש- f (-5) הוא הערך הגדול ביותר של F בקרבת מקום, בהתחשב רק בערכים x בתחום, זהו מקדם יחסי חד צדדי לא כל הטיפולים של חצץ יש לאפשר אקסטרמה יחסית צדדית אחת, באופן דומה, אם הגישה שלך מאפשרת אקסטרמה יחסית חד צדדית, אז #f (5) הוא מימימום יחסי.כדי קרא עוד »

X = + - pi / 4 עבור x ב- [-pi / 2, pi / 2] g (x) = 2sin (2x-pi) +4 g (x) = -2sin (2x) +4 עבור extrema של g ( x (x) x = x = 0 x = x = 0 x = x = 0 x = x = + -pi / 4 עבור x ב- [-pi / 2, pi / 2] קרא עוד »

אקסטרמה הם ב x = + - 1 ו - x = + - sqrt (1/35) h (x) = 7x ^ 5 - 12 x ^ 3 + x h (x) = 35x ^ 4 - 36x ^ 2 +1 Factorising h (x = 2-1) = 0 הנקודות הקריטיות הן + +, + -qqrt (1/35) h (' x = -1, h (x) = -68, ולכן תהיה מקסימום ב- x = -1 עבור x = 1, h '' (x) = 68, ומכאן (x 1) = x = = 0.6761 - 12.1702 = - 11.4941, ולכן תהיה מקסימום בנקודה זו עבור x = # -qqrt (1) / 35), h '(x) = -0.6761 + 12.1702 = 11.4941, ולכן תהיה מינימום בשלב זה. קרא עוד »

המינימום הוא (1) y = x ^ 4-3x ^ 3 + 3x ^ 2-x dy / dx = 4x ^ 3-9x ^ 2 + 6x (1 x x 1) (4x ^ 2-5x + 1) = 0 (x-1) ^ 2 (4x- 1) = x = 1 או 4 d = 2y / dx ^ 2 = 12x ^ 2-18x + 6 בדיקה x = 1 d ^ 2y / dx ^ 2 = 0 לכן, נקודת אופקי אפשרית של גמישות (in שאלה זו, אין צורך למצוא אם היא נקודת אופקי של רלקסציה) בדיקה x = 1/4 d ^ 2y / dx ^ 2 = 9/4> 0 לכן, מינימום וקעורה ב- x = 1/4 עכשיו, במציאת x- מיירטים, תן y = 0 (x ^ 3-x) (x-3) = 0 x (x ^ 2-1) (x-3) = 0 x = 0, + - 1,3 מציאת y- מיירטים, תן x = 0 y = 0 (0,0) גרף {x ^ 4-3x ^ 3 + 3x ^ 2-x [-10, 10, -5, 5]} מהתרשים, לראות כי המינימום הוא (1/4, -27 / 256) ואת מקסימום הוא (1,0) קרא עוד »

התשובה היא: y '' = (x ^ 3cosx + 3x ^ 4sinx + 6xcosx-6sinx) / x ^ 4. (Xxxx-sinx) xxxx-xxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx * (Xxxxx x x 2 cosx-2cosx-2x (-sinx) + 2cosx) x ^ 3 (xxxxx = xxxxx x = 2 xxxxxxxx + 2sinx) / x ^ 3 y ' (xxxxx + 2sinx) * 3x ^ 2) / x ^ 6 = = (x - 2 cosx) x ^ 3 + 3x ^ 4xinx + 6x ^ 3cosx-6x ^ 2sinx) / x ^ 6 = = = -x ^x 3xxx + 3x ^ 4xinx + 6xcosx-6sinx) / x ^ 4. קרא עוד »

אנו כותבים מחדש f f (x) = 2x ^ 7 * (1-1 / x ^ 2) אבל lim_ (x-> oo) f (x) = oo ולכן אין extrma גלובלי. עבור הנקודות המקומיות אנו מוצאים את הנקודות שבהן (df) / dx = 0 f '(x) = 0 => 14x ^ 6-10x ^ 4 = = = 2 * x ^ 4 * (7 * x ^ 2-5 ) = = = = X = = 5 = 7 = x = x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 100/343 * sqrt (5/7) ו מינימום מקומי ב x = sqrt (5/7) הוא f (sqrt (5/7)) = - 100/343 * sqrt (5/7) קרא עוד »

אקסטרמה מקומית הם (0,6) ו (1 / 3,158 / 27) ואת extrma הגלובלית הם + + אנו משתמשים (x ^ n) '= nx ^ (n-1) בואו למצוא את נגזרת f' x = 0 x x = x x = x x = x x = x x = x x = x x = 0 x x = 0 x x = 1 / x x = (לבן) (aaaaa) צבע לבן (aaaaa) + צבע (לבן) (לבן) (לבן) (aaaaa) + aaaaa) צבע (לבן) (aaaaa) + f (x) צבע (לבן) (aaaaaa) uarrcolor (לבן) (aaaaa) darrcolor (לבן) (aaaaa) uarr אז בנקודה (0,6) יש לנו (x) = 48x-8 48x-8 = 0 => x = 1/6 limitf (x) = - oo xrarr-oo limitf (x) = + oo xrarr + oo גרף {8x ^ 3-4x ^ 2 + 6 [-2.804, 3.19, 4.285, 7.28]} קרא עוד »

F (x) יש מינימום מוחלט ב (-1) 0) f (x) יש מקסימום מקומי ב (-3, 4e ^ -3) f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) (x + 2 x + x + 2 x + 1) x = 2 + x + 2 x + 1 x (+ x) 0 (x + 3) x = 2 (x + 2 x + x = 0) x x + 2 x 0 x x = 2 (x + x = 1) = x = -3 או -1 f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) [כלל מוצר] = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) שוב, מאז e ^ x> 0 אנחנו צריכים רק לבדוק את הסימן של (x ^ 2 + 6x + 7) בנקודות extrma שלנו כדי לקבוע אם הנקודה היא מקסימלית או מינימום. f ('- 1) = E ^ -1 * 2> 0 -> f (-1) הוא מינימלי f' '(- 3) = e ^ -3 * (-2) <0 -> f (- 3) הוא מקסימום בהתחשב בגרף של f (x) להלן ברור כי f (-3 קרא עוד »

(0,0) הוא מינימום מקומי (4 / 3,32 / 27) הוא מקסימלי מקומי. אין אקסטרמה עולמית. תחילה הכפל את הסוגריים כדי לבצע הבחנה קלה יותר וקבל את הפונקציה בצורה y = f (x) = 2x ^ 2-x ^ 3. כעת, כאשר x = 0 = 0 x = 0 x = 0 = 0 = x = 0 = 0 = x = 0 x = 0 x = 4/3. לכן f (0) = 0 (2-0) = 0 ו- f (4/3) = 16/9 (2-4 / 3) = 32/27. מכיוון שהנגזרת השנייה f (x) = 4-6x יש את הערכים של f '' (0) = 4> 0 ו- f '' (4/3) = - 4 <0, זה מרמז על כך (0,0 ) הוא מינימום מקומי (4 / 3,32 / 27) הוא מקסימום מקומי. המינימום הגלובלי או המוחלט הוא -ו והמקסימום הגלובלי הוא oo, מכיוון שהפונקציה אינה מוגבלת. התרשים של הפונקציה מאמת את כל החישובים האלה: ג קרא עוד »

מקומי: x = -2, 0, 2 גלובלי: (-2, -32), (2, 32) כדי למצוא extrema, אתה פשוט למצוא נקודות כאשר f (x) = 0 או לא מוגדר. אז: d / dx (x ^ 3 + 48 / x) = 0 כדי להפוך את הבעיה כלל כוח, אנו לשכתב 48 / x כמו 48x ^ -1. עכשיו: d / dx (x ^ 3 + 48x ^ -1) = 0 עכשיו, אנחנו פשוט לוקחים את זה נגזר. אנו מגיעים עם: 3x ^ 2 - 48x ^ -2 = 0 מעבר מערכים שליליים לשברים שוב: 3x ^ 2 - 48 / x ^ 2 = 0 אנחנו כבר יכולים לראות היכן יתרחש אחד מאקסטרמה שלנו: f '(x ) אינו מוגדר ב- x = 0, בגלל 48 / x ^ 2. לפיכך, זהו אחד extrema שלנו. לאחר מכן, אנו פותרים עבור אחרים (ים). כדי להתחיל, אנחנו מכפילים את שני הצדדים על ידי x ^ 2, רק כדי להיפטר מן השבר: 3x ^ 4 - קרא עוד »

לפונקציה אין אקסטרמה עולמית. יש לה מקסימום מקומי של f ((- 4 - sqrt31) / 3) = (308 + 62sqrt31) / 27 ו מינימום מקומי של f ((- 4 + sqrt31) / 3) = (308-62sqrt31) / 27 f (x) = x = 3 + 4x ^ 2 - 5x, lim_ (xrarr-oo) f (x) = = oo כך f אין מינימום עולמי. lim (xrarroo) f (x) = oo כך f אין מקסימום עולמי. f (x) (= x + 3) = 3x2 2 + 8x-5 אינו מוגדר לעולם, והוא 0 ב x = (4 + -sqrt31) / 3 עבור מספרים רחוקים מ -0 (חיוביים ושליליים), f (x) חיובי . עבור מספרים (4-sqrt31) / 3, (- 4 + sqrt31) / 3), 3f '(x) הוא שלילי. הסימן של f (x) משתנה מ + ל - כפי שאנו עוברים בעבר x = (4 - sqrt31) / 3, כך f ((- 4 - sqrt31) / 3) הוא המקסימום המקומי. הסימן ש קרא עוד »

אקסטרמה מקומית: x = -1 / 3 ו- x = 1 אקסטרמה עולמית: x = + - אקסטרמה מקומית, המכונה גם מקסימה ומינימום, או נקודות קריטיות לפעמים, הן בדיוק מה שהן נשמעות: כאשר הפונקציה הגיעה למקסימום קצר או מינימום קצר. הם נקראים מקומי כי כאשר אתה מחפש נקודות קריטיות, אתה בדרך כלל רק אכפת מה המשמעות המקסימלית בשכונה מיידית של הנקודה. מציאת נקודות קריטיות מקומיות הם די פשוטים. מצא כאשר הפונקציה אינה משתנה, והפונקציה אינה משתנה כאשר - ניחשתם - הנגזרת שווה לאפס. יישום פשוט של כלל הכוח נותן לנו f (x), f '(x) = 3x ^ 2 -2x - 1. אנו מודאגים כאשר הביטוי הזה שווה לאפס: 0 = 3x ^ 2 - 2x - 1 עכשיו מצאנו את עצמנו מתבוננים במשוואה ריבועית ב- x, שזו צ קרא עוד »

ב (2, -9) יש מינימום. נתון - y = x ^ 2-4x-5 מצא את שני הנגזרים הראשונים dy / dx = 2x-4 מקסימה ומינימה ייקבע על ידי הנגזר השני. (d = 2y) = dx = 2 = 0 dy / dx = 0 => 2x-4 = 0 2x = 4 x = 4/2 = 2 x = 2; y = 2 ^ 2-4 (2) -5 y = 4-8-5 y = 4-13 = -9 מאחר שהנגזרת השנייה גדולה מאחת. ב (2, -9) יש מינימום. קרא עוד »

F (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x יש מינימום מקומי x = 1 ומקסימום המקסימלי x = 3 יש לנו: f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) פונקציה מוגדרת בכל RR כמו x ^ 2 + 3> 0 AA x אנו יכולים לזהות את הנקודות הקריטיות על ידי מציאת המקום שבו הנגזרת הראשונה שווה לאפס: f (x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) 1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 x ^ 2-4x + 3 = 0 x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 כך שהנקודות הקריטיות הן: x_1 = 1 ו- x_2 = 3 מאחר שהמכנה תמיד חיובי, סימן f (x) הוא ההפך של סימן המונה (x ^ 2-4x + 3) כעת אנו יודעים כי פולינום מסדר שני עם מקדם מוביל חיובי הוא חיובי מחוץ מרווח בין השורשים ושלילי במרווח בין השורשים, כך: f '(x) 0 קרא עוד »

אנא קראו את ההסבר להלן. הפונקציה היא F (x, y) = x x 2 + xy + y + 2 + 3x-3y + 4 הנגזרים החלקיים הם (delf) / (delx) = 2x + y + 3 (delf) / (dely) = 2 + x-3 (+ dx) = (delf) / (delf) / (delf) / (delf) = 0 (+ 2 = 3 = 0) ) (=) = (=) = (=) = (= 0 =), = (D ^ 2f) / (delydelx) = 1 מטריצה הסיאן היא HF (x, y) = ((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) (d) (d delddely)), (d delddely)), (d delddely), (d deldelx) (d deldelx), (d ^ 2f) / (dely ^ 2)) (Dely ^ 2))) הקובע הוא D (x, y) = det (H (x, y) = | (2,1), (1,2) | = 4 = = 3> 0 לכן, אין נקודות אוכף. D (1) 0> 0 ו (del ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0, יש מינימום מקומי ב (-3,3) קרא עוד »

מקסימום מקומי של 80 (ב- x = -1) ובמינימום מקומי של -80 (ב- x = 1. F (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3 f (x) = 600x ^ 4 - 600x ^ 2 = 600x ^ 2 (x ^ 2 - 1) מספרים קריטיים הם: -1, 0 - ו 1 סימן ה - f שינויים מ + ל - כאשר אנו עוברים x = -1, כך f (-1) = 80 הוא מקסימלי מקומי (F = 1 - 80 הוא מינימלי יחסית ו- f (0) אינו מקוצר מקומי.) סימן f אינו משתנה כאשר אנו עוברים x = 0, אז f (0) הוא לא מקובל מקומי, הסימן של f שינויים מ - + + כפי שאנו עוברים x = 1, כך f (1) = 80 הוא מינימום מקומי. קרא עוד »

מקסימום מקומי של 13 ב 1 ו מינימלי מקומי של 0 ב 0. התחום של F הוא RR F '(x) = 2 + 2x ^ (- 13/15) = (2x ^ (13/15) +2 / x ^ (13/15) f '(x) = 0 ב- x = -1 ו- f' (x) אינו קיים ב- x = 0. שניהם -1 ו- 9 נמצאים בתחום f, ולכן הם שניהם מספרים קריטיים. מבחן נגזר ראשון: ב (-ו, -1), f (x)> 0 (לדוגמה, x = -2 ^ 15) ב (-1,0), f (x) <0 (לדוגמה, x = -1 / 2 ^ 15) לכן f (-1) = 13 הוא מקסימלי מקומי. על (0, oo), f (x)> 0 (השתמש בכל x חיובי גדול) אז f (0) = 0 הוא מינימום מקומי. קרא עוד »

האם אין קיצוניות מקומית ב- RR ^ n עבור f (x) תחילה נצטרך לקחת את הנגזרת של f (x). dx / dx = 2d / dx [x ^ 3] -3d / dx [x ^ 2] + 7d / dx [x] -0 = 6x ^ 2-6x + 7 אז, f (x) = 6x ^ 2- 6x + 7 כדי לפתור את הקיצוניות המקומית, אנחנו חייבים להגדיר את הנגזרת ל 0 x 6 x ^ 6x + 7 = 0 x = (6 + -sqrt (6 ^ 2-168)) / 12 עכשיו, פגענו בעיה. זה כי x inCC כך הקיצוניות המקומית הם מורכבים. זה מה שקורה כאשר אנו מתחילים בביטויים מעוקבים, זה כי אפסים מורכבים יכולים לקרות במבחן נגזרת הראשון. במקרה זה, אין קיצוניים מקומיים ב- RR ^ n עבור f (x). קרא עוד »

מקסימום f הוא f (5/2) = 69.25. F המינימום הוא F (-3/2) = 11.25. d = dx) x = 5/2 ו -3 / 2 = 2 x 2 + 2 + 12x + 18 = 0, כאשר x = 5/2 ו -3/2 הנגזרת השנייה היא 12x 12 = 12 (1-x) x = 5/2 ו-> 0 ב- x = 3/2. לכן, f (5/2) הוא המקסימלי (עבור x x) המרבי ו- f (-3 / 2) הוא המינימום המקומי (עבור x). כמו xto oo, fto -oo ו כמו xto-oo, fto + oo .. קרא עוד »

המקסימום המקסימלי x x = -2 min (x) = xx = 2 - 12x - 48 = 6 x x 2 - 2x - 8 (x-4) (x + 2) פירושו F = 0 כאשר x = -2, 4 f '' = 12 (x - 1) f '' (- 2) = -36 <0 כלומר (4) = 36> 0 כלומר, המינימום המקסימלי המינימלי מונע על ידי המונח הדומיננטי x ^ 3 כך ש- {x to pm oo} f (x) = pm זה חייב להיראות כך .. קרא עוד »

X = {- 3,0,3} extrema מקומית מתרחשת כאשר המדרון שווה ל 0 ולכן עלינו למצוא תחילה את הנגזרת של הפונקציה, להגדיר אותה שווה ל 0, ולאחר מכן לפתור עבור x כדי למצוא את כל x עבורו אקסטרמה מקומית. בעזרת כלל ההנעה ניתן למצוא את ה- f (x) = 8x ^ 3-72x. עכשיו להגדיר אותו שווה 0. 8x ^ 3-72x = 0. כדי לפתור, גורם 8x כדי לקבל 8x (x ^ 2-9) = 0 ולאחר מכן באמצעות כלל ההבדל של שני ריבועים לפצל x ^ 2-9 לתוך שני הגורמים שלה כדי לקבל 8x (x + 3) (x- 3) = 0. עכשיו כל אחד מהם בנפרד שווה 0 כי כל הביטוי יהיה 0 כאשר כל אחד מהמונחים הם 0. זה נותן לך 3 משוואות: 8x = 0, x + 3 = 0, ו x-3 = 0. כדי לפתור את הראשון לחלק את שני הצדדים על ידי 8 כדי לקבל x = 0. קרא עוד »

הקיצוני היחיד הוא x = 0.90322 ..., פונקציה מינימלית אבל אתה צריך לפתור משוואה מעוקב להגיע לשם והתשובה היא בכלל לא "נחמד" - אתה בטוח השאלה מודפסת כראוי? יש לי גם הצעות כיצד לגשת את התשובה מבלי להיכנס לכמות הניתוח המוצג להלן. 1. (1) x = 4 (x-4) x (4 x-3) x (x-4) x (כך לפי כללי שרשרת ו) * 2 x (x-4)) / x ^ 2 = 32x-24-4 / x ^ 2 ואז להגדיר את זה שווה ל 0 ולפתור עבור x: 32x-24-4 / x ^ 2 = 0 32x ^ 3-24x ^ 2-4 = 0 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 יש לנו משוואה מעוקבת, שהיא ניתנת לפתרון על ידי רדיקלים, אבל זה רחוק מתהליך קל. אנו יודעים כי משוואה זו תהיה באופן כללי יש שלושה שורשים, אבל לא שהם יהיו כל אמיתי, אם כי לפחות אחד מהם יהיה - כי קרא עוד »

(x + 2) (x-2) (x-3) (xb) הצמד המקומי מציית (df) / dx = a (6 + 5 b - 2 (5 + b) x + 3 x ^ 2) = 0 עכשיו, אם n 0 יש לנו x = 1/3 (5 + b pm sqrt [7 - 5 b + b ^ 2]) אבל 7 - 5 b + b ^ 2 gt 0 (יש שורשים מורכבים) x) יש allways מינימום מקומי ומקסימום המקומי. נניח 0 0 קרא עוד »

יש מינימום מקומי של 0 ב 1. (שהוא גם גלובלי.) ומקסימום המקומי של 4 / e ^ 2 ב e ^ 2. עבור f (x) = (lnx) ^ 2 / x, שים לב תחילה שהתחום של f הוא המספרים הריאליים החיוביים, (0, oo). לאחר מכן מצא את f (x) = (2) lnx (1 / x)] * x - (lnx) ^ 2 [1]] / x ^ 2 = (lnx (2-lnx)) / x ^ 2. f 'אינו מוגדר ב- x = 0 שאינו נמצא בתחום f, ולכן הוא אינו מספר קריטי עבור f. (0) 0 או 2-lnx = 0 x = 1 או x = e ^ 2 בדוק את המרווחים (0,1), (1, e ^ 2) ו- (e ^ 2, oo ). (עבור מספרי המבחן, אני מציע ש- e ^ -1, e ^ 1, e ^ 3 - זוכר 1 = e ^ 0 ו- e ^ x גדל.) אנו מוצאים ש - f משתנה מ שלילי לחיובי כאשר אנו עוברים 1, אז f (0) = 0 הוא מינימלי מקומי, ו f משתנה מ חיוב קרא עוד »

אקסטרמה של f (x) היא: מקס של 2 ב x = 0 דקות של 0 ב x = 2, -2 כדי למצוא את extrema של כל פונקציה, אתה מבצע את הפעולות הבאות: 1) להבדיל את הפונקציה 2) להגדיר את הנגזרת (x) (לא נגזרת) בדוגמא של f (x) = sqrt (4-x ^ 2): f (x) = (4) (x) 2 = 1/1) 1 () 1 () 1 (- ) (X) = x (4-x ^ 2) ^ (- 1/2) 2) קבע את הנגזרת השווה ל 0: 0 = -x (4-x ^ 2) ^ (1 - 2) כעת, מכיוון שמדובר במוצר, ניתן להגדיר כל חלק שווה ל -0 ולפתור: 3) פתור עבור המשתנה הלא ידוע: 0 = -x ו- 0 = (4-x ^ 2) ^ (1/2) עכשיו אתה יכול לראות את זה x = 0, וכדי לפתור את הצד הימני, להעלות את שני הצדדים ל -2 כדי לבטל את המעריך: 0 ^ -2 = ((4-x ^ 2) ^ (1/2)) ^ (2 + x) x = -2, 4 4) תחליף את קרא עוד »

לפונקציה אין אקסטרמה מקומית. f (x) = 7/2 (x + 1) ^ 6 הוא לעולם לא מוגדר והוא 0 רק ב- x = -1. אז, המספר הקריטי היחיד הוא -1. מכיוון ש - f (x) חיובי בשני צידי -1, f לא כולל מינימום ולא מקסימום ב -1. קרא עוד »

(0, -1) extrema מקומי להתרחש כאשר f (x) = 0. אז, למצוא f '(x) ולהגדיר אותו שווה 0. f' (x) = 2x 2x = 0 x = 0 יש קיצוני המקומי ב (0, -1). בדיקת תרשים: גרף {x ^ 2-1 [-10, 10, -5, 5]} קרא עוד »