מה הם extrema המוחלט של f (x) = x / e ^ (x ^ 2) ב [1, oo]?

תשובה:

# (1, 1 / e) # הוא מקסימום מוחלט בתחום הנתון

אין מינימום

הסבר:

הנגזר ניתן על ידי

# ('x) = (1 (e ^ (x ^ 2)) - x (2x) e ^ (x ^ 2)) / (e ^ (x ^ 2)) ^ 2 #

# ('x) = (e ^ (x ^ 2) - 2x ^ 2e ^ (x ^ 2)) / (e ^ (x ^ 2)) ^ 2 #

ערכים קריטיים יתרחשו כאשר הנגזר שווה #0# או לא מוגדר. הנגזר לעולם לא יהיה מוגדר (כי # e ^ (x ^ 2) # ו #איקס# הן פונקציות רציפות # e ^ (x ^ 2)! = 0 # עבור כל ערך של #איקס#.

אז אם #f '(x) = 0 #:

# 0 = e ^ (x ^ 2) - 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# 0 = e ^ (x ^ 2) (1 - 2x ^ 2) #

כמוזכר לעיל # e ^ (x ^ 2) # לעולם לא יהיה שווה #0#, כך שלנו רק שני מספרים קריטיים יתרחשו בפתרון של

# 0 = 1xx ^ 2 #

# 2x ^ 2 = 1 #

# x ^ 2 = 1/2 #

#x = + - sqrt (1/2) = + - 1 / sqrt (2) #

אבל אף אחד מאלה לא נמצא בתחום הנתון שלנו. לכן, #x = 1 # הוא הולך להיות מרבי (כי #f (x) # מתכנס #0# כפי ש #x -> + oo) #.

לא יהיה מינימום

אני מקווה שזה עוזר!