איך למצוא את ערכי המינימום המוחלט המוחלט המוחלט של f על מרווח נתון: F (t) = t sqrt (25-t ^ 2) על [-1, 5]?

תשובה:

Reqd. ערכים קיצוניים הם # -25 / 2 ו- 25/2 #.

הסבר:

אנו משתמשים בתחליפים # t = 5sinx, לא ב- -1,5 #.

שים לב כי החלפה זו מותרת, כי, # in -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 = = 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, אשר מחזיק טוב, כמו טווח של #חטא# כיף. J #-1,1#.

עכשיו, #f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5xinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

מאז, # -1 <= sin2x <= 1 rArr-25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 #

#rArr-25/2 <= f (t) <= 25/2 #

לכן, reqd. הגפיים # -25 / 2 ו- 25/2 #.

תשובה:

מצא את המונוטוניות של הפונקציה מהסימן של הנגזרת והחליט איזה מקסימום / מינימום מקומי הם הגדולים ביותר, הקטנים ביותר.

מקסימום מוחלט הוא:

#f (3.536) = 12.5 #

המינימום המוחלט הוא:

#f (-1) = - 4.899 #

הסבר:

#f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) #

הנגזרת של הפונקציה:

# (t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (25-t ^ 2)

# (t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (- 2t) # #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) # #

# 25 't = = sqrt (25-t ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) # #

#f '(t) = (25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) # #

#f '(t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) # #

#f '(t) = 2 (12.5-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

# ('t) = 2 (sqrt (12.5) ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) # #

# (t) = 2 = (sqrt (12.5) -t) (sqrt (12.5) + t)) / sqrt (25-t ^ 2) #

• לממונה יש שני פתרונות:

  # t_1 = sqrt (12.5) = 3.536 #

  # t_2 = -sqrt (12.5) = - 3.536 #

  לכן, המונה הוא:

  שלילי עבור #t ב- (-oo, -3.536) uu (3.536, + oo) #

  חיובי עבור #t ב- (-3.536,3.536) # #

• המכנה תמיד חיובי # RR #, שכן זה שורש ריבועי.

  לבסוף, טווח נתון #-1,5#

לכן, הנגזרת של הפונקציה היא:

- שלילי עבור #t ב- -1,3.536 #

- חיובי עבור #t (3.536,5) # #

משמעות הדבר היא כי הגרף הראשון עולה מ #f (-1) # ל #f (3.536) # ולאחר מכן הולך למטה #f (5) #. זה עושה #f (3.536) # את המקסימום המוחלט ואת הערך הגדול ביותר של #f (-1) # ו #f (5) # הוא המינימום המוחלט.

מקסימום מוחלט הוא #f (3.536) #:

#f (3.536) = 3.536sqrt (25-3.536 ^ 2) = 12.5 #

עבור המקסימום המוחלט:

#f (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4.899 #

#f (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

לכן, #f (-1) = - 4.899 # הוא המינימום המוחלט.

ניתן לראות מהגרף למטה שזה נכון. פשוט להתעלם מן השטח שמאלה #-1# מאחר שהוא מחוץ לתחום:

גרף {xsqrt (25-x ^ 2) -14.4, 21.63, -5.14, 12.87}