מה הם נקודות האקסטרה והאוכף של f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) - ^ ^ (x ^ 2))?

תשובה:

# {: ("נקודה קריטית", "מסקנה"), ((0,0,0), "אוכף"):} #

הסבר:

התיאוריה לזהות את extrema של # z = f (x, y) # J

1. לפתור בו זמנית את המשוואות הקריטיות

   # (part f) / (x x) = (חלק f) / (y חלקי) = 0 # (כלומר # f_x = f_y = 0 #)

2. להעריך #f_ (x x), f_ (yy) ו- f_ (xy) (= f_ (yx)) # בכל אחת מנקודות קריטיות אלה. לפיכך להעריך # דלתא = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # בכל אחת מהנקודות הללו
3. לקבוע את אופי extrema;

   # (: (0: 0 (0), "אם יש" f_ (y) 0), (דלתא <0), "ו"), (דלתא = 0, "ניתוח נוסף הוא הכרחי"):} #

אז יש לנו:

# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #

# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #

הבה נגלה את הנגזרות החלקיות הראשונות:

# (+ f) / (+ x) 2 (+ x) 2 (+ x) 2 (+ x)

# ^ = y ^ ^ (^ ^ 2) - 2 ^ ^ ^ ^ (^ ^ ^ ^) - ^ ^ ^ ^ ^ 2 #

# x (2)) (x) 2 (x = 2) (x ^ 2) (x ^ 2)

# = 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #

אז המשוואות הקריטיות שלנו הן:

# ^ ^ ^ (y ^ 2) - 2 ^ ^ ^ ^ ^ (^ ^ ^ ^) - ^ ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

# 2x ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2 ^ ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

מהמשוואות הללו יש לנו:

# y = 0 # או # e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# x = 0 # או # e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #

הפתרון היחיד בו זמנית הוא # x = y = 0 #

וכך יש לנו אחד קריטית במקור

אז עכשיו, בואו נסתכל על הנגזרים החלקיים השני, כדי שנוכל לקבוע את מהות הנקודה הקריטית (אני רק מצטט את התוצאות):

(x ^ 2) -6 x ^ ^ (x ^ 2) # #

(y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) # # (חלקי ^ 2f) /

# (חלקי ^ 2f) / (x חלקי y) = e ^ (y ^ 2) - ^ ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) (= חלקי 2f) / (חלקי חלקי x)) #

ואנחנו חייבים לחשב:

# (דלתא חלקית = 2f) / (חלקי x 2) (חלק חלקי 2) / (חלקית y ^ 2) - (חלקית ^ 2f) /

בכל נקודה קריטית. הערכים הנגזרים החלקיים השני, # דלתא #, והמסקנה היא כדלקמן:

# (: "נקודה קריטית", (חלקית ^ 2f) / (חלק x ^ 2), (חלקית ^ 2f) / (חלקי y ^ 2), (חלקי ^ 2f) / (חלק x חלקית חלקית), דלתא, "סיכום"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "inclucful"):} #

אז אחרי כל העבודה זה די מאכזב להשיג תוצאה כוללנית, אבל אם נבחן את ההתנהגות סביב הנקודה הקריטית אנחנו יכולים בקלות לקבוע כי זה אוכף נקודה.

אנחנו יכולים לראות את הנקודות הקריטיות האלה אם מסתכלים על מגרש תלת ממדי: