מה הם נקודות האקסטרה והאוכף של f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

תשובה:

הפונקציה הזו אין נקודות נייחות (האם אתה בטוח ש #f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2-y / x # הוא זה שרצית ללמוד ?!).

הסבר:

על פי ההגדרה המפוזרת ביותר של אוכף נקודות (נקודות נייחות שאינן extrema), אתה מחפש נקודות נייחות של הפונקציה בתחום שלה # D = x ne = = RR ^ 2 setminus {(0, y) ב- RR ^ 2} #.

כעת אנו יכולים לשכתב את הביטוי שניתן עבור # f # באופן הבא: #f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x #

הדרך לזהות אותם היא לחפש את הנקודות לבטל את שיפוע # f #, שהוא וקטור הנגזרים החלקיים:

# nabla f = ((del f) / (d x), (del f) / (del y)) #

מאז התחום הוא סט פתוח, אנחנו לא צריכים לחפש extrema בסופו של דבר שוכב על הגבול, כי קבוצות פתוחות אין נקודות גבול.

אז בואו לחשב את שיפוע של הפונקציה:

#nabla f (x, y) = (14x + 2xy ^ 2 + y / x ^ 2,2x ^ 2y-1 / x) #

זה ריק כאשר המשוואות הבאות מרוצים בו זמנית:

# 14x + 2xy ^ 2 + y / x ^ 2 = 0 #

# 2x ^ 2y = 1 / x #

אנחנו יכולים להפוך את השני לתוך # y = 1 / (2x ^ 3) # תחליף אותו הראשון להגיע

# 2x + 2x (1 / (2x ^ 3)) ^ 2 + (1 / (2x ^ 3)) / x ^ 2 = 0 #

# 14x + 1 / (2x ^ 5) + 1 / (2x ^ 5) = 0 #

# 14x ^ 6 + 1 = 0 #

זה לא יכול להיות מרוצה #x ב- RR #, כך שיפוע הוא לעולם לא ריק על התחום. משמעות הדבר היא כי הפונקציה אין נקודות נייחות!