מה הם extrema של f (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 ב- [-oo, oo]?

תשובה:

#f (x) # יש מינימום ב # x = 2 #

הסבר:

לפני שתמשיך, שים לב כי מדובר פרבולה מול כלפי מעלה, כלומר אנו יכולים לדעת ללא חישוב נוסף כי זה לא יהיה מקסימום, מינימום אחד על קודקודו. השלמת הריבוע תציג לנו זאת #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #, נותן את הקודקוד, ולכן המינימום היחיד, ב #x = 2 #. בוא נראה איך זה ייעשה עם חצץ, אם כי.

כל אקסטרמה תתרחש בנקודה קריטית או בנקודת קצה של המרווח הנתון. כמרווח הנתון שלנו # (- oo, oo) # הוא פתוח, אנו יכולים להתעלם מן האפשרות של נקודות קצה, וכך אנו נזהה תחילה את הנקודות הקריטיות של הפונקציה, כלומר את הנקודה בה נגזרת הפונקציה היא #0# או אינו קיים.

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

הגדרה זו שווה ל #0#, אנו מוצאים נקודה קריטית ב # x = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

עכשיו, אנחנו יכולים לבדוק אם זה קיצוני (ואיזה סוג) על ידי בדיקת כמה ערכים של # f # סביב נקודה זו, או באמצעות הבדיקה הנגזרת השנייה. בואו נשתמש בשנייה.

# (d ^ 2x) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

כפי ש #f '' (2) = 6> 0 #, מבחן הנגזרת השני אומר לנו את זה #f (x) # יש מינימום מקומי ב # x = 2 #

לכן, באמצעות #f '(x) # ו #f '' (x) #, אנו מוצאים את זה #f (x) # יש מינימום ב # x = 2 #, התאמת התוצאה מצאנו באמצעות אלגברה.