מה הם נקודות האקסטרה והאוכף של F (x, y) = 6 חטא (x) * sin = 2 (y) על המרווח x, y ב- [-pi, pi]?

תשובה:

הסבר:

יש לנו:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin = 2 (y) #

# = -6sinxsin ^ 2y #

שלב 2 - זיהוי נקודות קריטיות

נקודה קריטית מתרחשת בפתרון סימולטני של

# f_x = f_y = 0 iff (חלקו החלקי) / (x החלקי) = (חלקיק) / (y חלקי) = 0 #

כלומר, כאשר:

# {:: f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6 sinxsin2y, = 0, … B):} # בו זמנית

שקול משוואה A

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

אז יש לנו שני פתרונות:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0, + - pi #

עכשיו תן לנו להשתמש EQ B כדי למצוא את הקואורדינטות המתאימות:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

# = = 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi #

# y = 0, + - pi => x ב- RR # (מרזבים)

מה שנותן לנו את הנקודות הקריטיות הבאות:

# (+ -pi / 2, +pi / 2) # (4 נקודות קריטיות)

# (+ -pi / 2, + -pi) # (4 נקודות קריטיות)

# (אלפא, 0) אלפא אלפא ב- RR # (קו ביוב)

# (אלפא, + -pi) AA אלפא ב- RR # (2 קווי ביוב)

שקול משוואה B

# -6sinxs2y = 0 #

אז יש לנו שני פתרונות:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #

# = = y = 0, + -pi / 2, + - pi #

עכשיו תן לנו להשתמש EQ A כדי למצוא את הקואורדינט המקביל @

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (חזרה למעלה)

# y = 0 => x ב- RR # (חזרה למעלה)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

# => x = + - pi / 2 # (חזרה למעלה)

מה שמעניק לנו נקודות קריטיות נוספות:

שלב 3 - לסווג את נקודות קריטיות

על מנת לסווג את הנקודות הקריטיות אנו מבצעים בדיקה הדומה לזו של חישוב אחד המשתנה תוך שימוש בנגזרים החלקיים השני ובמטריקס הסיאן.

# דלתא = H f (x, y) = | (f x (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy) | = | (חלקית ^ 2)), (חלקית ^ 2 f) / (חלקי חלקי x), (חלקי ^ 2 f)) / (חלקי y ^ 2)) = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

אז בהתאם לערך של # דלתא #:

# (:) (0: 0, 0), "אם יש" f_ (xx) 0), "ו" מינימלי אם "f_ (xx) 0), (דלתא <0)), (דלתא = 0, "ניתוח נוסף הוא הכרחי"):} #

באמצעות פקודות מאקרו מותאמות אישית של Excel, ערכי הפונקציה יחד עם ערכי הנגזרים החלקיים מחושבים כדלקמן:

הנה חלקת הפונקציה

ואת ploit עם נקודות קריטיות (ו מרזבים)