מה הם extrema המקומית נקודות אוכף של F (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x -3y + 4?

תשובה:

ראה הסבר בהמשך

הסבר:

הפונקציה היא

#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #

הנגזרים החלקיים הם

# (delf) / (delx) = 2x + y + 3 #

# (delf) / (dely) = 2y + x-3 #

תן # (delf) / (delx) = 0 # ו # (delf) / (dely) = 0 #

לאחר מכן, # {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0): #

#=>#, # {(x = -3), (y = 3): # #

# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #

# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #

# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #

# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #

מטריצת הסיאן היא

(Del + 2f) / (d ^ dfdxx), (del ^ 2f) / (d delddely) (dely ^ 2))) #

הקובע הוא

# (Y, y) = det (H (x, y) = | (2,1), (1,2) | #

#=4-1=3 >0#

לכן, אין נקודות אוכף.

#D (1,1)> 0 # ו # (del ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0 #, יש מינימום מקומי ב #(-3,3)#

תשובה:

מינימום מקומי: #(-3,3)#

הסבר:

קבוצה של נקודות הכוללות הן extrema ו אוכף נקודות נמצאות כאשר שניהם # (delf) / (delx) (x, y) # ו # (delf) / (dely) (x, y) # שווים לאפס.

בהנחה #איקס# ו # y # הם משתנים בלתי תלויים:

# (delf) / (delx) (x, y) = 2x + y + 3 #

# (delf) / (dely) (x, y) = x + 2y-3 #

אז יש לנו שתי משוואות סימולטניות, אשר בשמחה יקרה להיות ליניארי:

# 2x + y + 3 = 0 #

# x + 2y-3 = 0 #

מההתחלה:

# y = -2x-3 #

תחליף את השני:

# x + 2 (-2x-3) -3 = 0 #

# x-4x-6-3 = 0 #

# -3x-9 = 0 #

# x = -3 #

תחליף חזרה הראשונה:

# 2 (-3) + y + 3 = 0 #

# 6 + y + 3 = 0 #

# 3 + y = 0 #

# y = 3 #

אז יש נקודה אחת שבה נגזרים הראשונים אחיד להיות אפס, או קיצוני או אוכף, ב # (x, y) = (- 3,3) #.

כדי להסיק מהם, עלינו לחשב את המטריצה של הנגזרים השני, המטריצה הסיאן (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):

# ((del ^ 2f) / (d deldelx), (del ^ 2f) / (d ^ ^ 2)) #

# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #

# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #

# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #

# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #

לכן

# ((del ^ 2f) / (d deldelx), (del ^ 2f) / (d ^ ^ 2)) = (2,1), (1,2)) #

כל הנגזרות מסדר שני קבועות באופן קבוע בכל ערכיו #איקס# ו # y #, ולכן אנחנו לא צריכים במיוחד לחשב את הערכים לעניין.

הערה סדר ההבחנה אינו משנה לתפקודים עם נגזרות חוזרות מתמשכות (משפט Clairault, היישום כאן: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives), ולכן אנו מצפים לכך # (del ^ 2f) / (delxdely) = (del ^ 2f) / (delydelx) #, כפי שאנו רואים בתוצאה הספציפית שלנו.

במקרה זה שני משתנים, אנו יכולים להסיק את סוג הנקודה מן הקובע של הסיאן, (d delddely) (del ^ 2f) / (delydelx) = 4-1 = 3 # (d ^ 2f) / (delx ^ 2) (del ^ 2f).

טופס של בדיקה לניהול ניתן כאן:

אנו רואים כי הקובע הוא #>0#, וכך גם # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) #. אז אנחנו מסיקים את זה #(-3,3)#, הנקודה היחידה של אפס הנגזרת הראשונה, היא מינימום מקומי של הפונקציה.

בתור בדיקת שפיות עבור שאלה חד-מימדית של פונקציה, אני בדרך כלל מפרסם את הגרף שלה, אבל לסוקראטיק אין משטח או מתקן מתאר שמתאים לתפקודים דו-ממדיים, עד כמה שאני רואה. אז אני יהיה overplot שתי פונקציות #f (-3, y) # ו #f (x, 3) #, אשר לא לאפיין את כל תחום הפונקציה עבורנו, אבל יראה לנו את המינימום ביניהם, אשר מופיע כצפוי ב # y = 3 # ו # x = -3 #, עם ערך פונקציה זהה # f = -5 # בכל מקרה.

כפי ש #f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #

#f (-3, y) = y ^ 2-6 + 4 #

#f (x, 3) = x ^ 2 + 6x + 4 #

(x- 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6, 7}