מה הם נקודות האקסטרה והאוכף של f (x, y) = xy (1-x-y)?

תשובה:

הנקודות #(0,0),(1,0)#, ו #(0,1)# הן נקודות אוכף. הנקודה #(1/3,1/3)# היא נקודה מקסימלית מקומית.

הסבר:

אנחנו יכולים להרחיב # f # ל #f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2 #. לאחר מכן, למצוא נגזרים חלקית ולהגדיר אותם שווה לאפס.

# frac { part f} { part x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 #

# frac { part f} { part y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 #

ברור, # (x, y) = (0,0), (1,0), # ו #(0,1)# הם פתרונות למערכת זו, וכך גם נקודות קריטיות של # f #. הפתרון האחר ניתן למצוא מהמערכת # 1-2x-y = 0 #, # 1-x-2y = 0 #. פתרון המשוואה הראשונה # y # במונחים של #איקס# נותן # y = 1-2x #, אשר ניתן לחבר את המשוואה השנייה להגיע # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #. מזה, # y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # גם כן.

כדי לבדוק את טיבם של נקודות קריטיות אלה, אנו מוצאים נגזרים שניים:

# frac { part ^ {2} f} { part x ^ {2}} = - 2y #, # frac { part ^ {2} f} { part y ^ {2}} = - 2x #, ו # frac { part ^ {2} f} { part x part y} = frac { part ^ {2} f} { part y part x} = 1-2x-2y #.

המפלה היא אפוא:

# D = 4xy - (1-2x-2y) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2y-2x + 4x ^ 2 + 4xy-2y + 4xy + 4y ^ 2) # #

# = 4x + 4y-4x ^ 2-4y ^ 2-4xy-1 #

חיבור שלושת הנקודות הקריטיות הראשונות נותן:

#D (0,0) = - 1 <0 #, #D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #, ו #D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #, מה שהופך נקודות אלה נקודות אוכף.

חיבור בנקודה הקריטי האחרון נותן (1/3/3) = 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 #. כמו כן, שים לב # frac { part ^ {2} f} { part x ^ {2}} (1 / 3,1 / 3) = - 2/3 <0 #. לכן, #(1/3,1/3)# הוא מיקום של ערך מקסימלי מקומי של # f #. אתה יכול לבדוק את הערך המקסימלי המקומי עצמו #f (1 / 3,1 / 3) = 1/27 #.

להלן תמונה של מפת מתאר (של עקומות ברמה) של # f # (הקימורים שבהם התפוקה של # f # הוא קבוע), יחד עם 4 נקודות קריטיות של # f #.