מה הם extrema של f (x) = 3x-1 / sinx ב [pi / 2, (3pi) / 4]?

תשובה:

המינימום המוחלט על התחום מתרחש בכ. # (pi / 2, 3.7124) #, ואת מקסימום מוחלט על התחום מתרחשת כ. # (3pi / 4, 5.6544) #. אין אקסטרמה מקומית.

הסבר:

לפני שאנחנו מתחילים, זה חייב לנו לנתח ולראות אם #sin x # מקבל ערך של #0# בכל נקודה על המרווח. #sin x # הוא אפס לכל x כך #x = npi #. # pi / 2 # ו # 3pi / 4 # הן פחות מ #פאי# וגדול מ # 0pi = 0 #; לפיכך, #sin x # לא מקבל כאן אפס.

על מנת לקבוע זאת, יש לזכור כי מתרחשת תופעה קיצונית #f '(x) = 0 # (נקודות קריטיות) או באחת מנקודות הקצה. זה בחשבון, אנחנו לוקחים את נגזרת של הנ"ל (x), ולמצוא נקודות שבו נגזר זה שווה 0

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x) = 3 - d / dx (1 / sinx) #

כיצד עלינו לפתור את המונח האחרון?

שקול בקצרה את כלל גומלין, אשר פותחה לטפל במצבים כגון המונח האחרון שלנו כאן, # d / dx (1 / sin x) # #. הכלל ההדדי מאפשר לנו לעקוף ישירות באמצעות שרשרת או מנה מנה על ידי הקובע כי נתון פונקציה שונה #g (x) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

מתי #g (x)! = 0 #

חוזרים למשוואה העיקרית שלנו, עזבנו עם;

# 3 - d / dx (1 / sin x) # #.

מאז #sin (x) # הוא שונה, אנו יכולים ליישם את הכלל הדדי כאן:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin = 2x #

הגדרה זו שווה ל 0, אנו מגיעים ל:

# 3 + cos x / sin = 2x = 0. #

זה יכול להתרחש רק כאשר #cos x / sin = 2 x = -3. #. מכאן זה עשוי להיות לנו להשתמש באחת ההגדרות trigonometric, במיוחד # sin = 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin = 2x = -3 => cosx / (1 cos ^ 2x) = -3 = cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

זה דומה פולינום, עם #cos x # החלפת המסורתית x שלנו. לכן, אנו מכריזים #cos x = u # ו …

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #. באמצעות הנוסחה הריבועית כאן …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9)) / 6 = = (1 + - 37) / # #

השורשים שלנו מתרחשים ב #u = (1 + -sqrt37) / 6 # לפי זה. עם זאת, אחד השורשים האלה (# (1 + sqrt37) / 6 #) לא יכול להיות שורש עבור #cos x # כי השורש גדול מ 1, ו # -1 <= cosx <= 1 # עבור כל x. השורש השני שלנו, לעומת זאת, מחושב כ #-.847127#. עם זאת, זה פחות מהערך המינימלי #cos x # פונקציה יכולה על המרווח (מאז #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2 = =.707 <-.847127 #. לפיכך, אין נקודה קריטית בתחום.

זה בראש, אנחנו חייבים לחזור לנקודות הקצה שלנו ולשים אותם לתוך הפונקציה המקורית. ללא שם: לעשות זאת, אנו להשיג #f (pi / 2) כ- 3.7124, f (3pi / 4) כ- 5.6544 #

לכן, המינימום המוחלט שלנו על התחום הוא כ # (pi / 2, 3.7124), # ואת המקסימום שלנו הוא כ # (3pi / 4, 5.6544) #