מה הם extrma המקומית, אם בכלל, של f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

תשובה:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x # יש מינימום מקומי עבור # x = 1 # ואת המקסימום המקומי עבור # x = 3 #

הסבר:

יש לנו:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x #

הפונקציה מוגדרת בכל # RR # כפי ש # x ^ 2 + 3> 0 AA x #

אנו יכולים לזהות את הנקודות הקריטיות על ידי מציאת המקום שבו הנגזרת הראשונה שווה לאפס:

(x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) # #

# - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 #

ולכן הנקודות הקריטיות הן:

# x_1 = 1 # ו # x_2 = 3 #

מכיוון שהמכנה תמיד חיובי, סימן #f '(x) # הוא היפוכו של סימן המונה # (x ^ 2-4x + 3) #

עכשיו אנו יודעים כי פולינום הסדר השני עם מקדם חיובי חיובי חיובי מחוץ מרווח שנכללו בין השורשים ושלילי במרווח בין השורשים, כך:

#f '(x) <0 # ל #x ב- (-oo, 1) # ו #x ב- (3, + oo) # #

#f '(x)> 0 # ל #x ב- (1,3) #

אז יש לנו את זה #f (x) # הוא יורד # (- oo, 1) #, הגדלת #(1,3)#, ושוב יורדת # (3, + oo) #, אז זה # x_1 = 1 # חייב להיות מינימום מקומי # x_2 = 3 # חייב להיות מקסימלי מקומי.

גרף {2ln (x ^ 2 + 3) -x -1.42, 8.58, -0.08, 4.92}