מה הם נקודות האקסטרה והאוכף של f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y?

לא מצאתי נקודות אוכף, אבל היה מינימום:

#f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3 #

כדי למצוא את extrema, לקחת נגזרת חלקית ביחס #איקס# ו # y # כדי לראות אם שני נגזרים חלקי יכול שווה בו זמנית #0#.

# (delf) / (delx)) _ y = 2x + y #

# ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 #

אם הם חייבים להיות שווים #0#, הם יוצרים מערכת משוואות:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

#x + 2y + 1 = 0 #

זה ליניארי מערכת של משוואות, כאשר נגרע לבטל # y #, נותן:

# 3x - 1 = 0 => צבע (ירוק) (x = 1/3) #

# => 2 (1/3) + y = 0 #

# => צבע (ירוק) (y = -2 / 3) #

מאחר שהמשוואות היו לינאריות, היתה רק נקודה קריטית אחת, ולכן רק אחת קיצונית. הנגזרת השנייה תספר לנו אם זה היה מקסימלי או מינימלי.

# (d ^ 2f) / (delx ^ 2)) _ = = (d ^ 2f) / (dely ^ 2)) _ x = 2 #

החלקים האלה הם בהסכמה, ולכן הגרף הוא קעור, לאורך #איקס# ו # y # צירים.

הערך של #f (x, y) # בנקודה הקריטית (על ידי חיבור חזרה למשוואה המקורית):

# (1/3, -2 / 3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (- 2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = צבע (ירוק) (- 1/3) #

לכן, יש לנו מינימום of #color (כחול) (f (1/3, -2 / 3) = -1/3) #.

עכשיו, בשביל נגזרים צולבים כדי לבדוק כל נקודה אוכף שיכול להיות לאורך אלכסוני כיוון:

# (x, y) = # (d ^ 2f) / (d delddx)

מאז אלה הן גם בהסכמה, במקום להיות סימנים מנוגדים, יש ללא אוכף נקודה.

אנו יכולים לראות כיצד נראה תרשים זה רק כדי לבדוק: