מהן הקואורדינטות של נקודות המפנה של y ^ 3 + 3xy ^ 2-x ^ 3 = 3?

תשובה:

#(1,1)# ו #(1,-1)# הן נקודות המפנה.

הסבר:

# y ^ 3 + 3xy ^ 2-x ^ 3 = 3 #

באמצעות הבחנה משתמעת,

# 3y ^ 2 פעמים (dy) / dx + 3xtimes2y (dy) / (dx) + 3y ^ 2-3x ^ 2 = 0 #

# (dy) / dx (3y ^ 2 + 6xy) = 3x ^ 2-3y ^ 2 #

# (dy) / (dx) = (3 (x ^ 2-y ^ 2)) / (3y (y + 2x) # #

# (dy) (dx) = (x ^ 2-y ^ 2) / y (y + 2x) #

עבור נקודות מפנה, # (dy) / (dx) = 0 #

# (x ^ 2-y ^ 2) / (y (y + 2x) = 0 #

# x ^ 2-y ^ 2 = 0 #

# (x-y) (x + y) = 0 #

# y = x # או # y = -x #

תת # y = x # בחזרה למשוואה המקורית

# x ^ 3 + 3x * x ^ 2-x ^ 3 = 3 #

# 3x ^ 3 = 3 #

# x ^ 3 = 1 #

# x = 1 #

לכן #(1,1)# הוא אחד משני נקודות המפנה

תת # y = -x # בחזרה למשוואה המקורית

# x ^ 3 + 3x * (x) ^ 2-x ^ 3 = 3 #

# 3x ^ 3 = 3 #

# x ^ 3 = 1 #

# x = 1 #

לכן, #(1,-1)# היא נקודת המפנה האחרת

#root (3) 3 = 1 #

# -root (3) 3 = -1 #

אז חסרה לך נקודת המפנה #(1,-1)#