מה הם extrema המקומית, אם בכלל, של f (x) = (lnx) ^ 2 / x?

תשובה:

יש מינימום מקומי של #0# ב #1#. (שהוא גם גלובלי.) ומקסימום המקומי של # 4 / e ^ 2 # ב # e ^ 2 #.

הסבר:

ל #f (x) = (lnx) ^ 2 / x #, שים לב תחילה כי התחום של # f # הוא המספרים הריאליים החיוביים, # (0, oo) #.

ואז למצוא

# (x / l) x (1 / x) x (-

# = (lnx (2-lnx)) / x ^ 2 #.

# f '# אינו מוגדר ב # x = 0 # אשר אינו בתחום של # f #, ולכן זה לא מספר קריטי # f #.

#f '(x) = 0 # איפה

# lnx = 0 # # # או # # # 2-lnx = 0 #

# x = 1 # # # או # # # x = e ^ 2 #

בדוק את המרווחים #(0,1)#, # (1, e ^ 2) #, ו # (e ^ 2, oo) #.

(עבור מספרי המבחן, אני מציע # e ^ -1, e ^ 1, e ^ 3 # - זוכר # 1 = e ^ 0 # ו # e ^ x # גדל.)

אנו מוצאים את זה # f '# שינויים שלילי לחיובי כפי שאנו עוברים #1#, לכן #f (1) = 0 # הוא מינימום מקומי,

וזה # f '# שינויים חיוביים לשליליים כפי שאנו עוברים # e ^ 2 #, לכן #f (e ^ 2) = 4 / e ^ 2 # הוא המקסימום המקומי.