מה הם נקודות האקסטרה והאוכף של F (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

תשובה:

# (: "נקודה קריטית", "סיכום"), (0,0), "min"), (-1, -2), "אוכף"), (-1,2), "אוכף "), ((-5 / 3,0)," max "):} #

הסבר:

התיאוריה לזהות את extrema של # z = f (x, y) # J

לפתור בו זמנית את המשוואות הקריטיות

# (part f) / (x x) = (חלק f) / (y חלקי) = 0 # (כלומר # z_x = z_y = 0 #)
להעריך #f_ (x x), f_ (yy) ו- f_ (xy) (= f_ (yx)) # בכל אחת מנקודות קריטיות אלה. לפיכך להעריך # דלתא = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # בכל אחת מהנקודות הללו
לקבוע את אופי extrema;

# (: (0: 0 (0), "אם יש" f_ (y) 0), (דלתא <0), "ו"), (דלתא = 0, "ניתוח נוסף הוא הכרחי"):} #

אז יש לנו:

# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #

הבה נגלה את הנגזרות החלקיות הראשונות:

# (חלק f) / (x חלקי) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #

# (חלק f) / (y חלקי) = 2xy + 2y #

אז המשוואות הקריטיות שלנו הן:

# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #

# 2xy + 2y = 0 #

מהמשוואה השנייה יש לנו:

# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #

Subs # x = -1 # לתוך המשוואה הראשונה ואנחנו מקבלים:

# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #

Subs # y = 0 # לתוך המשוואה הראשונה ואנחנו מקבלים:

# Xx = 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3,0 #

וכך יש לנו ארבעה נקודות קריטיות עם קואורדינטות;

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

אז, עכשיו תן לנו להסתכל על נגזרים חלקית השני, כך שנוכל לקבוע את אופי הנקודות הקריטיות:

# (חלקי ^ 2f) / (x ^ 2 חלקי) = 12x + 10 #

# (חלקי ^ 2f) / (חלקי y ^ 2) = 2x + 2 #

# (חלקית ^ 2f) / (חלק חלקי x y) = 2y (= חלקי ^ 2f) / (חלקי חלקי x)) #

ואנחנו חייבים לחשב:

# (דלתא חלקית = 2f) / (חלקי x 2) (חלק חלקי 2) / (חלקית y ^ 2) - (חלקית ^ 2f) /

בכל נקודה קריטית. הערכים הנגזרים החלקיים השני, # דלתא #, והמסקנה היא כדלקמן:

# (: "נקודה קריטית", (חלקית ^ 2f) / (חלק x ^ 2), (חלקית ^ 2f) / (חלקי y ^ 2), (חלקי ^ 2f) / (חלק x חלקית חלקית), דלתא, (0, 0), (0,0), 10,2,0, gt 0, f_ (xx)> 0 => "min"), ((-1, -2), - 2,0,4, 0), "אוכף"), ((-1,3), - 10, -4 / 3,0, gt 0, f_ (xx) <0 => "max"):} #

אנחנו יכולים לראות את הנקודות הקריטיות האלה אם מסתכלים על מגרש תלת ממדי: