תשובה:
הנקודה # (x, y) = (27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) בערך (1.26694,1,6437) # היא נקודת מינימום מקומית.
הסבר:
הנגזרים החלקיים מסדר ראשון הם # (part f) / (x x) = y-3x ^ {- 4} # ו # (חלק f) / (y חלקי) = x-2y ^ {- 3} #. הגדרת שני אלה שווה לאפס תוצאות במערכת # y = 3 / x ^ (4) # ו # x = 2 / y ^ {3} #. משנה את המשוואה הראשונה לתוך השני נותן # x = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27 #. מאז #x! = 0 # בתחום של # f #, זו התוצאה # x ^ {11} = 27/2 # ו # x = (27/2) ^ {1/11} # אז זה # y = 3 / (27/2) ^ {4/11}) = 3 * (2/27) ^ {4/11}
הנגזרים החלקיים מסדר שני הם # (חלקי ^ {2} f) / (חלקי x ^ {2}) = 12x ^ {- 5} #, # (חלקי ^ {2} f) / (חלקי y ^ {2}) = 6y ^ {- 4} #, ו # (חלקית ^ {2} f) / (חלקי x חלקי y) = (חלקית ^ {2} f) / (חלק חלקי x x) = 1 #.
לפיכך, המפלה # (חלקי = ^ 2} f) / (חלקי x ^ {2}) * (חלקי ^ {2} f) / (חלקי y ^ {2}) - (חלקית ^ {2} f) / (החלקי x החלקי y) ^ ^ {2} = 72x ^ {- 5} y ^ {- 4} -1 #. זה חיובי בנקודה קריטית.
מכיוון שהנגזרות החלקיות (הלא מעורבות) החלקיות גם הן חיוביות, הרי שהנקודה הקריטית היא מינימום מקומי.
