מה הם extrema המוחלט של F (x) = sin2x + cos2x ב [0, pi / 4]?

תשובה:

מקסימום מוחלט: #x = pi / 8 #

דקות מוחלטות. הוא בנקודות הקצה: #x = 0, x = pi / 4 #

הסבר:

מצא את הנגזרת הראשונה באמצעות כלל השרשרת:

תן #u = 2x; u '= 2 #, לכן #y = sinu + cos u #

#y '= (cosu) u' - (sinu) u '= 2cos2x - 2sin2x #

מצא מספרים קריטיים על ידי הגדרה #y '= 0 # גורם

# 2 (cos2x-sin2x) = 0 #

מתי #cosu = sinu #? מתי #u = 45 ^ @ = pi / 4 #

לכן #x = u / 2 = pi / 8 #

מצא את הנגזרת השנייה: #y '' = -4sin2x-4cos2x #

בדוק אם יש לך מקסימום ב # pi / 8 # באמצעות הבדיקה הנגזרת השנייה:

#y '' (pi / 8) ~~ -5.66 <0 #, ולכן # pi / 8 # הוא מקסימום מוחלט במרווח.

בדוק את נקודות הקצה:

#y (0) = 1; y (pi / 4) = 1 # ערכים מינימליים

מהתרשים:

גרף {sin (2x) + cos (2x) -.1,.78539816, -.5, 1.54}

תשובה:

# 0 ו- sqrt2 #. ראה את הגרף הסוקראטי הממחיש.

הסבר:

הגר

להשתמש # | חטא (תטא) in 0, 1 #.

# | f | | = sin2x + cos2x | #

# sqrt2 | sin2x cos (pi / 4) + חטא cosx (pi / 4) | #

# = sqrt2 | חטא (2x + pi / 4) | ב 0, sqrt 2 #.