מה הם נקודות האקסטרה והאוכף של f (x, y) = xye ^ (x ^ 2-y ^ 2)?

תשובה:

#(0,0)# היא נקודת אוכף

# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # ו # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # הם מקסימום מקומי

# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # ו # (- 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # הם מינימום מקומי

# (0, pm 1 / sqrt 2) # ו # (pm 1 / sqrt 2,0) # הם נקודות של גוון.

הסבר:

לתפקוד כללי #F (x, y) # עם נקודה נייחת ב # (x_0, y_0) # יש לנו את הרחבת סדרת טיילור

#F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} ו- ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots #

עבור הפונקציה

#f (x) = x y e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

יש לנו

# (d) x (d x) = y ^ ^ - x ^ 2-y ^ 2} + y (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2}

#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (- d) / (y y) = x - 2-y ^ 2} + y (-2y) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2}

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

קל לראות כי הן נגזרות הראשון להיעלם ב ponrs הבאים

• #(0,0)#
• # (0, pm 1 / sqrt2) #
• # (pm 1 / sqrt2, 0) #
• # (PM 1 / sqrt2, pm 1 / sqrt2) #

כדי לבדוק את טיבם של נקודות נייחות אלה, עלינו לבחון את התנהגות הנגזרים השני ים שם.

עכשיו

# (d ^ 2 f) / (d ^ x ^ 2) = y (4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

וכן באופן דומה

# (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2}

ו

# (x ^ 2-y ^ 2) + x (1-2y ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2}

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2}

אז #(0,0)# יש לנו # (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 0 # ו # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 1 # - ומכאן

#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #

אם אתה מתקרב #(0,0)# לפי הקו # x = y #, זה הופך להיות

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

וכך #(0,0)# הוא ללא ספק מינימום אם אתה מתקרב מהכיוון הזה. מצד שני, אם אתה מתקרב לאורך הקו # x = -y # יש לנו

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

וכך #(0,0)# הוא מקסימום לאורך הכיוון הזה, לכן #(0,0)# הוא אוכף נקודה.

ל # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # זה נראה בקלות כי

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # ו # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

מה שאומר ש

#f (1 / sqrt 2 + xi, 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) - ^ ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta ^ 2)} #

אז, הפונקציה מקטין את הדרך בה אתה מתרחק # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # וזהו מקסימום מקומי. זה נראה בקלות כי כנ"ל לגבי # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (זה היה צריך להיות ברור, שכן הפונקציה נשארת זהה # (x, y) to (-x, -y) #!

שוב, לשניהם # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # ו # (- 1 / sqrt2,1 / sqrt2) # יש לנו

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # ו # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

אז, שתי נקודות אלה הם מינימום מקומי.

ארבע הנקודות # (0, pm 1 / sqrt2) # ו # (pm 1 / sqrt2, 0) # הם בעייתיים יותר - שכן כל נגזרות הסדר השני להיעלם בנקודות אלה. עכשיו אנחנו צריכים להסתכל על נגזרות גבוהות יותר. למרבה המזל, אנחנו לא באמת צריכים לעבוד קשה מאוד עבור זה - את התשואות הנגזרות הבאות

# (d ^ 3 f) / (x x ^ 3) = -2 (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2}

אשר הוא אפס עבור שניהם # (0, pm 1 / sqrt2) # ו # (pm 1 / sqrt2, 0) #. עכשיו, זה אומר, למשל

# (0 + xi, 1 / sqrt 2) = f (0,1 / sqrt 2) +1/3 ((del + 3 f) / (x x ^ 3)) _ (0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

אשר מראה כי זה יגדל מ # f (0,1 / sqrt 2) # בכיוון אחד, ולהקטין ממנו השני. לכן # (0,1 / sqrt2) # הוא ** נקודת הטיה. אותו ויכוח עובד על שלוש הנקודות האחרות.