תשובה:
בדוק להלן לתשובה
הסבר:
ל # x = 0 # יש לנו
#f (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 #
אנו מחשיבים פונקציה חדשה #g (x) = x-e ^ (- x) + 1 #, #איקס## in ## RR #
#g (0) = 0 #, #g '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0 #, #איקס## in ## RR #
כתוצאה # גרם # גדל ב # RR #. לכן, כי זה בהחלט גדל # גרם # J 12#1-1#" (אחד לאחד)
לכן, #f (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 # #<=># #g (f (0)) = g (0) # #<=># #f (0) = 0 #
אנחנו צריכים להראות את זה # x / 2 <##f (x) <##xf '(x) # # <=> ^ (x> 0) #
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<## (f (x) -f (0)) / (x-0) <##f '(x) #
- # f # הוא רציף ב # 0, x #
- # f # היא שונה # (0, x) #
על פי משפט הערך הממוצע יש # x_0 ## in ## (0, x) #
לאיזה # f '(x_0) = (f (x) -f (0)) / (x-0) #
#f (x) -e ^ (- f (x)) = x-1 #, #איקס## in ## RR # לכן
על ידי הבחנה בין שני החלקים שאנחנו מקבלים
#f '(x) -e ^ (- f (x)) (- f (x))' = 1 # #<=># #f '(x) + f' (x) e ^ (- f (x)) = 1 # #<=>#
#f '(x) (1 + e ^ (- f (x)) = 1 # # <=> ^ ^ (1 + e ^ (- f (x))> 0) #
#f '(x) = 1 / (1 + e ^ (- f (x))) #
הפונקציה # 1 / (1 + e ^ (- f (x))) # הוא שונה. כתוצאה # f '# הוא שונה # f # הוא 2 פעמים עם
# (') = - (1 + e ^ (- f (x))') / (1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #=#
# (f '(x) e ^ (- f (x))) / ((1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #>0#, #איקס## in ## RR #
-> # f '# הוא גדל בהחלט # RR # אשר אומר
# x_0 ## in ## (0, x) # #<=># #0<## x_0 <##איקס# #<=>#
#f '(0) <##f '(x_0) <##f '(x) # #<=>#
# 1 / (1 + e ^ (- f (0))) ##<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # # <=> ^ (x> 0) #
# x / 2 <##f (x) <##xf '(x) #
