יש לנו:
# f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) #
שלב 2 - זיהוי נקודות קריטיות
נקודה קריטית מתרחשת בפתרון סימולטני של
# f_x = f_y = 0 iff (חלקו החלקי) / (x החלקי) = (חלקיק) / (y חלקי) = 0 #
כלומר, כאשר:
# {: (f_x = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … A), (f_y = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … B):}} # בו זמנית
שממנו אנו יכולים להקים:
# X = 2-y ^ 2) = / y (2x) # =
# X = 2-y ^ 2) x = / 2y (#
לפיכך אנו דורשים כי:
# y / (2x) = x / (2y) #
#:. x ^ 2 = y ^ 2 #
אז יש לנו שני (מטוס אינסופי) פתרונות:
#:. x = + - y #
וכך אנו מסיקים שיש נקודות קריטיות לאין שיעור לאורך כל אורכו של הצומת של העקומה ואת שני המטוסים
שלב 3 - לסווג את נקודות קריטיות
על מנת לסווג את הנקודות הקריטיות אנו מבצעים בדיקה הדומה לזו של חישוב אחד המשתנה תוך שימוש בנגזרים החלקיים השני ובמטריקס הסיאן.
# דלתא = H f (x, y) = | (f x (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy) | = | (חלקית ^ 2)), (חלקית ^ 2 f) / (חלקי חלקי x), (חלקי ^ 2 f)) / (חלקי y ^ 2)) #
# = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #
אז בהתאם לערך של
# (:) (0: 0, 0), "אם יש" f_ (xx) 0), "ו" מינימלי אם "f_ (xx) 0), (דלתא <0)), (דלתא = 0, "ניתוח נוסף הוא הכרחי"):} #
# + ^ ^ ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} {- 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2 ^ ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} - {1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} ^ 2 #
(x ^ 2 + y ^ 2)) - 2 (x ^ 2 + y ^ 2) - 2 (x ^ 2 + y ^ 2) 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4) #
אנחנו צריכים לשקול את הסימן של
# X = 2 + y ^ 2) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4 #
אז, בהתאם לשלט
הנה חלקת הפונקציה
והנה חלקת הפונקציה כולל המטוסים
