מה הם extrema של f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 + 10 על המרווח [-1,3]?

תשובה:

יש לנו מינימום ב # x = 0 # ואת נקודת הטיה ב # x = 3 #

הסבר:

מקסימום הוא נקודה גבוהה שבה פונקציה עולה ואז נופל שוב. ככזה המדרון של המשיק או את הערך של הנגזרות בנקודה זו יהיה אפס.

יתר על כן, כמו המשיקים משמאל מקסימה יהיה משופע כלפי מעלה, ואז משוטח ואז משתפל כלפי מטה, המדרון של המשיק יהיה ירידה מתמדת, כלומר הערך של נגזרת השני יהיה שלילי.

מינימה לעומת זאת היא נקודה נמוכה שבה פונקציה נופל ואז עולה שוב. ככזה משיק או את הערך של נגזרת במינימה מדי יהיה אפס.

אבל, כמו המשיקים שמאלה של minima יהיה משופע כלפי מטה, ולאחר מכן שיטוח ולאחר מכן משופע כלפי מעלה, המדרון של המשיק יהיה הולך וגדל בהתמדה או את הערך של נגזרת השני יהיה חיובי.

אם הנגזר השני הוא אפס יש לנו נקודה

עם זאת, אלה מקסימום ומינימום עשוי להיות אוניברסלי כלומר מקסימום או מינימום לכל טווח או עשוי להיות מקומי, כלומר מקסימום או מינימום בטווח מוגבל.

הבה נראה זאת בהתייחסות לפונקציה המתוארת בשאלה, ובשביל זה נבדל תחילה #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

הנגזרת הראשונה שלו ניתנת על ידי #f '(x) = 3 (x ^ 2-9) ^ 2 * 2x #

= # 6x (x ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6x ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

זה יהיה אפס עבור # x ^ 2-9 = 0 # או #x = + - 3 # או #0#. מבין אלה בלבד #{0,3}# הם בטווח #-1,3}#.

לכן מקסימום או minima מתרחשת בנקודות # x = 0 # ו # x = 3 #.

כדי למצוא אם זה מקסימום או מינימום, תן לנו להסתכל על ההפרש השני שהוא #f '' (x) = 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486 # ולכן בזמן

ב # x = 0 #, #f '' (x) = 486 # והוא חיובי

ב # x = 3 #, #f '' (x) = 2430-2916 + 486 = 0 # והיא נקודת הטיה.

לפיכך, יש לנו מינימום מקומי ב # x = 0 # ואת נקודת הטיה ב # x = 3 #

. גרף {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5, 5, -892, 891}

תשובה:

המינימום המוחלט הוא #(-9)^3+10# (המתרחשת ב #0#), המקסימום המוחלט על המרווח הוא #10#, (המתרחשת ב #3#)

הסבר:

השאלה אינה מציינת האם עלינו למצוא אקסטרמה יחסית או מוחלטת, כך שנמצא את שניהם.

אקסטרמה יחסית יכולה להתרחש רק במספרים קריטיים. מספרים קריטיים הם ערכים של #איקס# כי הם בתחום של # f # וגם בו #f '(x) = 0 # או #f '(x) אינו קיים. (משפט פרמה)

Extrema מוחלט על מרווח סגור יכול להתרחש במספרים קריטיים במרווח או בנקודות של המרווח.

בגלל הפונקציה שאל על כאן הוא מתמשך ב #-1,3#, משפט הערך האקסטרים מבטיח לנו זאת # f # חייב להיות גם מינימום מוחלט מקסימום מוחלט על מרווח.

מספרים קריטיים ואקסטרמה יחסית.

ל #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #, אנחנו מוצאים #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

ברור, # f '# לעולם לא נכשל, ולכן אין מספרים קריטיים מסוג זה.

פתרון # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # תשואות #-3#, #0#, ו #3#.

#-3# הוא לא בתחום של בעיה זו, #-1,3# אז אנחנו צריכים רק לבדוק #f (0) # ו #f (3) #

ל #x <0 #, יש לנו #f '(x) <0 # ו

ל #x> 0 #, יש לנו #f '(x)> 0 #.

אז, על ידי הבדיקה הנגזרת הראשונה, #f (0) # הוא מינימלי יחסית. #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

המספר הקריטי השני במרווח הוא #3#. אם אנו מתעלמים מהגבלת הדומיין, אנו מוצאים זאת #f '(x)> 0 # לכולם #איקס# סמוך ל #3#. אז, הפונקציה מגדילה על מרווחי פתוח קטן המכיל #3#. לכן, אם נפסיק ב #3# פגענו בנקודה הגבוהה ביותר בתחום.

יש לא הסכם אוניברסלי אם לומר זאת #f (3) = 10 # הוא מקסימלי יחסית עבור פונקציה זו ב #-1,3#.

חלקם דורשים ערך בשני הצדדים כדי להיות פחות, אחרים דורשים ערכים בתחום משני הצדדים להיות פחות.

אקסטרמה מוחלטת

המצב עבור extrma מוחלטת על מרווח סגור # a, b # הוא הרבה יותר פשוט.

מצא מספרים קריטיים במרווח הסגור. תתקשר ל # c_1, c_2 # וכן הלאה.

חישוב הערכים #f (a), f (b), f (c_1), f (c_2) # וכן הלאה. הערך הגדול ביותר הוא maixmum המוחלט על המרווח ואת הערך המינימלי הוא המינימום המוחלט על המרווח.

בשאלה זו אנו מחשבים #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # ו #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

המינימום הוא #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # ו

המקסימום הוא #f (-3) = 10 #.