למצוא את כל נקודות קריטיות עבור פונקציה זו?

תשובה:

#(0,-2)# היא נקודת אוכף

#(-5,3)# הוא מינימום מקומי

הסבר:

אנחנו מקבלים #g (x, y) = 3x ^ 2 + 6x + 2y ^ 3 + 12x-24y #

ראשית, אנחנו צריכים למצוא את הנקודות איפה # (delg) / (delx) # ו # (delg) / (dely) # שניהם שווים 0.

# (delg) / (delx) = 6x + 6y + 12 #

# (delg) / (dely) = 6x + 6y ^ 2-24 #

# 6 (x + y + 2) = 0 #

# 6 (x + y ^ 2-4) = 0 #

# x + y + 2 = 0 #

# x = -y-2 #

# -y-2 + y ^ 2-4 = 0 #

# y ^ 2-y-6 = 0 #

# (y-3) (y + 2) = 0 #

# y = 3 או -2 #

# x = -3-2 = -5 #

# x = 2-2 = 0 #

נקודות קריטיות מתרחשות ב #(0,-2)# ו #(-5,3)#

עכשיו לסיווג:

הקובע של #f (x, y) # ניתן ע"י (D ^ 2g) / (d ^ 2)) (dely ^ 2) - (del ^ 2g) / (delxy)) ^ 2 #

# (del + 2g) / (delx ^ 2) = דל / (delx) (delg) / (delx)) = del / (delx) (6x + 6y + 12) = 6 #

# (d ^ 2g) / (dely) 2 (= 6x + 6y ^ 2-24) (= dy) / dely)

# (del + 2g) / (delxy) = del / (delx) (delg) / (dely)) = del / (delx) (6x + 6y ^ 2-24) = 6 #

# (del + 2g) / (delyx) = דל / (dely) (delg) / (delx)) = דל / (dely) (6x + 6y + 12) = 6 #

#D (x, y) = 6 (12y) -36 #

#D (0, -2) = 72 (-2) -36 = -180 #

#D (-5,3) = 72 (3) -36 = 180 #

מאז #D (0, -2) <0 #, #(0,-2)# היא נקודת אוכף.

ומאז #D (-5,3)> 0 ו- (del ^ 2g) / (delx ^ 2)> 0 #, #(-5,3)# הוא מינימום מקומי. (# (del ^ 2g) / (delx ^ 2) = 6 # אז אנחנו לא צריכים לעשות שום חישובים).