מה הם extrema המוחלט של f (x) = x ^ (1/3) * (20-x) ב [0,20]?

תשובה:

המינימום המוחלט הוא #0#, אשר מתרחשת ב #x = 0 # ו # x = 20 #.

המקסימום המוחלט הוא # 15root (3) 5 #, אשר מתרחשת ב #x = 5 #.

הסבר:

הנקודות האפשריות שיכולות להיות אקסטרמה מוחלטת הן:

נקודות מפנה; כלומר נקודות היכן # dy / dx = 0 #

נקודות הקצה של המרווח

כבר יש לנו נקודות קצה (#0# ו #20#), אז בואו למצוא נקודות המפנה שלנו:

#f '(x) = 0 #

# d / dx (x ^ (1/3) (20-x)) = 0 #

# 1 / 3x ^ (- 2/3) (20-x) - x ^ (1/3) = 0 #

# (20-x) / (3x ^ (2/3)) = x ^ (1/3) #

# (20-x) / (3x) = 1 #

# 20-x = 3x #

# 20 = 4x #

# 5 = x #

אז יש נקודת מפנה #x = 5 #. משמעות הדבר היא כי 3 נקודות אפשריות שעלולות להיות extrema הן:

#x = 0 "" "" x = 5 "" "x = 20 #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

בואו תקע את הערכים האלה #f (x) #:

# 0 (=) 0 (0) ^ (1/3) (20 - 0) = 0 * 20 = צבע (אדום) 0 #

# 5 (5) = 5 (=) (1) 3 (1 - 5) = שורש (3) (5) * 15 = צבע (אדום) (15root (3) 5 #

# 20) = 20 (= 20) = 20 (= 20 =) = 20 (= 20) =

לכן, על המרווח #x ב- 0, 20 # #:

המינימום המוחלט הוא #color (אדום) 0 #, אשר מתרחשת ב #x = 0 # ו # x = 20 #.

המקסימום המוחלט הוא #color (אדום) (15root (3) 5) #, אשר מתרחשת ב #x = 5 #.

תשובה סופית