מה הם נקודות האקסטרה והאוכף של f (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x?

תשובה:

אוכף נקודת המוצא.

הסבר:

יש לנו:

# f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x #

וכך אנו נגזרים את הנגזרים החלקיים. זכור כאשר ההבדל בין חלקי אנו להבדיל wrt המשתנה המדובר תוך התייחסות המשתנים האחרים כמו קבוע. וכך:

# (חלק f) / (חלק x) = 2xy-y ^ 2 # ו # (חלק f) / (y חלקי) = x ^ 2-2yx #

ב extrema או אוכף נקודות לנו:

# (חלק f) / (x חלקי) = 0 # ו # (חלק f) / (y חלקי) = 0 # בו זמנית:

דהיינו פתרון סימולטני של:

# 2x-y = 2 = 0 = y (2x-y) = 0 = y = 0, x = 1 / 2y #

# x = 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #

לפיכך יש רק נקודה אחת קריטית על המקור #(0,0)#. כדי לקבוע את מהות הנקודה הקריטית, נדרשים אנליסטים של סדרת טיילור הרב-משתנה ותוצאות הבדיקות הבאות:

# (חלקי ^ 2 f) / (חלקי x ^ 2) (חלקי ^ 2 f) / (חלקי y ^ 2) - {(חלקי ^ 2 f) / (חלקי x y חלקית)} ^ 2 <0 => # אוכף נקודה

אז אנחנו מחשבים את הנגזרות החלקיות השנייה:

# (part ^ 2f) / (x ^ 2) = 2y #;# (חלקי ^ 2f) / (חלקי y ^ 2) = -2x # ו # (חלקית ^ 2 f) / (חלקי x חלקי y) = 2x-2y #

וכך מתי # x = 0, y = 0 # אנחנו מקבלים:

# דלתא = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #

כלומר, מבחן האוכף הסטנדרטי הוא כולל ניתוח נוסף נדרש. (זה בדרך כלל כרוך להסתכל על הסימנים של הפונקציה על פני פרוסות שונות, או להסתכל על המבחן השלישי נגזרת חלקית אשר מעבר להיקף של שאלה זו!).

אנחנו יכולים גם להסתכל על מגרש 3D ולצייר מסקנה מהירה כי נקודת קריטית נראה להתאים את נקודת האוכף: