מה הם extrema המוחלט של f (x) = x - e ^ x ב [1, ln8]?

תשובה:

יש מקסימום מוחלט #-1.718# ב # x = 1 # מינימום מוחלט #-5.921# ב # x = ln8 #.

הסבר:

כדי לקבוע אקסטרמה מוחלטת על המרווח, עלינו למצוא את הערכים הקריטיים של הפונקציה שנמצאת בתוך המרווח. לאחר מכן, עלינו לבדוק הן את נקודות הקצה של המרווח והן את הערכים הקריטיים. אלו הם הנקודות שבהן עלולים לקרות ערכים קריטיים.

מציאת ערכים קריטיים:

הערכים הקריטיים של #f (x) # להתרחש בכל פעם #f '(x) = 0 #. לכן, עלינו למצוא את הנגזרת של #f (x) #.

אם:# "" "" "" "" "f (x) = x-e ^ x #

לאחר מכן: # "" "" "f" (x) = 1-e ^ x #

לכן, הערכים הקריטיים יתרחשו כאשר: # "" "" 1-e ^ x = 0 #

מה שמרמז כי:# "" "" "e ^ x = 1 #

לכן:# "" "" "" "x = ln1 = 0 #

הערך הקריטי היחיד של הפונקציה הוא # x = 0 #, שהוא לא על המרווח נתון #, 1 ln8 #. לפיכך, הערכים היחידים בהם ניתן לחולל את המוחלט המוחלט הם # x = 1 # ו # x = ln8 #.

בדיקת ערכים אפשריים:

פשוט, למצוא #f (1) # ו #f (ln8) #. ככל שהמינימום המינימלי של הפונקציה קטן יותר, והמקסימום הוא המקסימום המוחלט.

#f (1) = 1-e ^ 1 = 1-eapprox-1.718 #

#f (ln8) = ln8-e ^ ln8 = ln8-8approx-5.921 #

לכן, יש מקסימום מוחלט #-1.718# ב # x = 1 # מינימום מוחלט #-5.921# ב # x = ln8 #.

Graphed הוא הפונקציה המקורית על המרווח הנתון:

גרף {x-e ^ x.9, 2.079, -7, 1}

מאחר שאין ערכים קריטיים, הפונקציה תישאר קטנה לאורך כל הזמן. מאז # x = 1 # היא תחילתו של המרווח יורד כל הזמן, זה יהיה הערך הגבוה ביותר. אותו היגיון חל # x = ln8 #, שכן הוא המרוחק ביותר של המרווח יהיה הנמוך ביותר.