מהו נפח מוצק המיוצר על ידי מסתובב f (x) = cotx, x ב [pi / 4, pi / 2] סביב ציר x?

תשובה:

# V = pi-1 / 4pi ^ 2 #

הסבר:

הנוסחה למציאת נפח מוצק המיוצר על ידי סיבוב פונקציה # f # סביב ה #איקס#-קס

# V = int_a ^ bpi f (x) ^ 2dx #

אז #f (x) = cotx #, את עוצמת מוצקה של המהפכה בין #pi "/" 4 # ו #pi "/" # 2 J

(Pi / / "4) ^ (pi" / 2) pi (cotx) ^ 2dx = piint_ (pi "/ 4) ^ (pi" / 2) cot ^ 2xdx = piint_ (pi " (Pi "/) 2) csc ^ 2x-1dx = -pi cotx + x _ (pi" / 4) ^ (pi "/ 2) = = pi (0-1) + (pi / 2-pi / 4)) = pi-1 / 4pi ^ 2 #

תשובה:

# "שטח המהפכה סביב" # #x "-axis" = 0.674 #

הסבר:

# "שטח המהפכה סביב" # #x "-axis" = piint_a ^ b (f (x)) ^ 2dx #

#f (x) = cotx #

#f (x) ^ 2 = cotx #

# pi / 4) ^ (pi / 2) cot ^ 2xdx = int_ (pi / 4) ^ (pi / 2) csc ^ 2x-1dx #

(pi / 2) ^ pi / 2 # pi / 2) pi / 2 (# pi / 2) # pi / 2) # pi /

(pi / 2) -pi / 2) - (- cot (pi / 4) -pi / 2 (pi / 2) (pi / 2) ci = 2xdx = pi 4) #

# (pi / 4) ^ (pi / 2) cot ^ 2xdx = = pi - 0-pi / 2 - (1-pi / 4) #

(pi / 2) cot ^ 2xdx) = pi -pi / 2 + 1 + pi / 4 # #

#color (לבן) (int_ (pi / 4) ^ (pi / 2) cot ^ 2xdx) = 0.674 #