מהו שטח המשטח של מוצק שנוצר על ידי מסתובב f (x) = xe ^-x-xe ^ (x), x ב [1,3] סביב ציר x?

תשובה:

לקבוע את השלט, ולאחר מכן לשלב על ידי חלקים. שטח:

# A = 39.6345 #

הסבר:

אתה צריך לדעת אם #f (x) # היא שלילית או חיובית ב #1,3#. לכן:

# xe ^ -x-xe ^ x #

#x (e ^ -x-e ^ x) #

כדי לקבוע סימן, הגורם השני יהיה חיובי כאשר:

# e ^ -x-e ^ x> 0 #

# 1 / e ^ x-e ^ x> 0 #

# e ^ x * 1 / e ^ x-e ^ x * e ^ x> e ^ x * 0 #

מאז # e ^ x> 0 # לכל #x ב- (-oo, + oo) # # חוסר השוויון אינו משתנה:

# 1-e ^ (x + x)> 0 #

# 1-e ^ (2x)> 0 #

# e ^ (2x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

#x <0 #

אז הפונקציה היא חיובית רק כאשר x הוא שלילי ולהיפך. מאז יש גם #איקס# גורם #f (x) #

#f (x) = x (e ^ -x-e ^ x) #

כאשר גורם אחד חיובי, השני הוא שלילי, כך f (x) הוא תמיד שלילי. לכן, אזור:

# A = -int_1 ^ 3f (x) dx #

# A = -int_1 ^ 3 (xe ^ -x-xe ^ x) dx #

# A = -int_1 ^ 3xe ^ -xdx + int_1 ^ 3xe ^ xdx #

# A = =int_1 ^ 3x * (- e ^ -x) 'dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = int_1 ^ 3x * (e ^ -x) 'dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = xe ^-x _1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x) 'e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x)' e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ xdx #

# = Xe ^ -x _1 ^ 3 - - e ^ -x _1 ^ 3 + x (e ^ x) _ 1 ^ -3 e ^ x _1 ^ 3 #

# (3 = ^ -3 * e ^ -1) + (e ^ -3-e ^ -1) + (3e ^ 3-1 * e ^ 1) - (e ^ 3-e ^ 1) #

# A = 3 / e ^ 3-1 / e + 1 / e ^ 3-1 / e + 3e ^ 3-e-e ^ 3 + e #

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

שימוש במחשבון:

# A = 39.6345 #

תשובה:

שטח = 11,336.8 יחידות מרובע

הסבר:

נתון #f (x) = xe ^ -x -xe ^ x #

לפשטות תן #f (x) = y #

ו # y = xe ^ -x -xe ^ x #

הנגזרת הראשונה # y '# יש צורך בחישוב של פני השטח.

אזור # = 2pi int_1 ^ 3 y # # ds #

איפה # ds ## = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

אזור # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

לקבוע את הנגזרת הראשונה # y '#:

להבדיל # y = x (e ^ -x - e ^ x) # באמצעות נגזרת של נוסחת המוצר

#y '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x-x * e ^ -x-x * e ^ x #

לאחר פישוט ופקטורינג, התוצאה היא

הנגזרת הראשונה # y '= e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x) #

לחשב עכשיו את אזור:

שטח 49 # 2 pi int_1 ^ 3 y # # ds #

אזור # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

אזור

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

עבור אינטגרלים מורכבים כמו זה, אנו עשויים להשתמש כלל של סימפסון:

אז זה

אזור

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

שטח = -1,3,336.804

זה כרוך בכיוון של המהפכה, כך יכול להיות שטח שלילי השטח או משטח משטח חיובי. תן לנו רק לשקול את הערך החיובי שטח = 11336.804 יחידות מרובע