מה אקסטרמה מקומית, אם בכלל, של f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x?

תשובה:

הקיצוני היחיד הוא # x = 0.90322 … #, מינימום פונקציה

אבל אתה צריך לפתור משוואה מעוקב להגיע לשם והתשובה היא בכלל לא "נחמד" - אתה בטוח השאלה מודפסת כראוי? יש לי גם הצעות כיצד לגשת את התשובה מבלי להיכנס לכמות הניתוח המוצג להלן.

הסבר:

1. הגישה הסטנדרטית מציינת אותנו בכיוון קשה

ראשית לחשב את הנגזרת:

#f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x #

כך (לפי הכללים שרשרת מנה)

(x- (x-4)) / x ^ 2 = 32x-24-4 / x ^ 2 #

ואז להגדיר את זה שווה ל 0 ולפתור עבור #איקס#:

# 32x-24-4 / x ^ 2 = 0 #

# 32x ^ 3-24x ^ 2-4 = 0 #

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

יש לנו משוואה מעוקבת, שנפתרת על ידי רדיקלים, אבל זה רחוק מתהליך קל. אנו יודעים כי משוואה זו תהיה באופן כללי יש שלושה שורשים, אבל לא שהם יהיו כל אמיתי, אם כי לפחות אחד מהם יהיה - כי לפחות אחד יהיה אנחנו יודעים מן הערך הביניים משפט - http: // en. wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem - אשר אומר לנו כי בגלל הפונקציה הולך לאינסוף בקצה אחד, מינוס האינסוף על השני, אז זה חייב לקחת את כל הערכים בין בנקודה זו או אחרת.

טרילינג כמה ערכים פשוטים (1 הוא לעתים קרובות אינפורמטיבי ומהיר ערך לנסות), אנו רואים כי יש שורש איפשהו בין 1 ל 1, אבל אנחנו לא מוצאים שום פתרונות ברורים כדי לפשט את המשוואה עם. פתרון משוואה מעוקבת הוא תהליך ארוך ומייגע (אשר נעשה להלן), ולכן כדאי לנסות להודיע על האינטואיציה לפני שתעשה זאת. פתרונות trialling נוספת, אנו מוצאים כי הוא בין 0.9 ו 0.91.

2. פתור בעיה פשוטה

הפונקציה מורכבת מהבדל של שני מונחים, # f_1 (x) = (4x-3) ^ 2 # ו # f_2 (x) = (x-4) / x #. עבור הרבה של טווח #איקס#, הראשון של אלה ישלטו מאוד, כמו טווח השני יהיה קרוב ל 1 עבור כל הערכים של #איקס# הרחק מערכים קטנים. בואו נשאל איך מתנהגים שני התנאים האישיים.

תנאי ראשון, # f_1 #

# f_1 (x) = (4x-3) ^ 2 #

# f_1 ^ '(x) = 4 * 2 (4x-3) = 8 (4x-3) #

הגדר את זה שווה לאפס: # x = 3/4 #. זה באזור של אפס הפונקציה שמצאנו, אבל זה לא מאוד קרוב לזה.

#f (1) # היא פרבולה ב #איקס#, אחד נוגע #איקס# ציר ב # x = 3/4 #. הנגזרת שלו היא קו ישר תלול של שיפוע 32 שחוצה את ציר ה- X באותה נקודה.

תקופת כהונה שנייה, # f_2 #

# f_2 (x) = (x-4) / x = 1-4 / x #

# f_2 ^ '(x) = 4 / x ^ 2 #

הגדר את זה שווה לאפס: אין פתרונות ב #איקס#. לכן # f_2 # אין אקסטרמה כפונקציה בפני עצמה. עם זאת יש נקודה שבה הוא מתפוצץ עד אינסוף: # x = 0 #. זה הולך לאינסוף חיובי כפי שהוא מתקרבת 0 מן הצד השלילי, כדי אינסופי שלילי כפי שהוא מתקרבת 0 מן הצד החיובי. הרחק מנקודה זו, העקומה נוטה לערך 1 משני הצדדים. # f_2 # הוא היפרבולה במרכז # (x, y) = (0,1) #. הנגזרת שלו היא עקומה בשני חלקים, שלילית וחיובית #איקס#. זה הולך לאינסוף חיובי משני הכיוונים ב # x = 0 # והוא תמיד חיובי.

שים לב ש # f_1 ^ '(x) <0 # לכולם #x <0 #. לא יכול להיות צמתים של # f_1 ^ '# ו # f_2 ^ '# על השלילי #איקס# ציר. על חיובי #איקס# ציר חייב להיות בדיוק צומת אחת - עקומת אחד הולך פחות מ 0 עד אינסוף כמו #איקס# עושה את אותו הדבר בעוד השני עובר מן האינסוף ל 0. על ידי יישום של משפט ערך ביניים (ראה לעיל) הם חייבים לעבור בדיוק פעם אחת.

אז עכשיו אנחנו בטוחים שאנחנו רק מחפשים פתרון אחד אבל אין לנו תשובה טובה על זה.

3. מקבילים באופן נומרי את התשובה

במצבים מקצועיים הדורשים את הפתרון של בעיות מסוג זה, לעתים קרובות הדרך המהירה ביותר להגיע למקום שבו אתה צריך להגיע היא לבצע קירוב מספרי. אחד די טוב למציאת שורשים של פונקציה היא שיטת ניוטון-רפסון (http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method).

אשר הוא: כדי למצוא שורש של פונקציה # f #, תחילה לנחש # x_0 # על שורש, ולאחר מכן להסתובב עגול על פי נוסחה זו:

# x_1 = x_0-f (x_0) / (f '(x_0)) #

# x_1 # הוא ניחוש טוב יותר # x_0 #, ואחד פשוט חוזר על זה עד שהדיוק הרצוי הוא הגיע.

להזכיר את הפונקציה שלנו נגזרת שלה:

#f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x #

#f '(x) = 8 (4x-3) -4 / x ^ 2 #

אז אנחנו יכולים לנחש 0.5 כמו השורש שלנו, מה שהופך # x_0 = 0.5 #, #f (x_0) = 8 #, #f '(x_0) = - 24 #. לכן # f_1 = 0.5 + 8/24 = 0.5 + 1/3 = 0.8333 …. #, אכן תשובה קרובה יותר. החזרה מביאה אותנו לערך של כ -0.9 הנ"ל.

אז אנחנו יכולים למצוא את התשובה בדייקנות שרירותית, אבל התשובה המלאה דורשת פתרון אנליטי, משהו שהזכרנו לעיל יהיה קשה. אז הנה אנחנו מתחילים…

4. לפתור את הבעיה המלאה, לאט וכואב

עכשיו בואו נעשה את הפתרון מעוקב מלא (אתה הולך צריך לאהוב אלגברה כדי לפתור את זה כראוי):

ראשית, לחלק דרך להפוך את המונח המוביל יש מקדם 1:

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

# x ^ 3-3 / 4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

שנית, להפוך את המשתנה הבא למשתנה # y # כדי להסיר את # x ^ 2 # טווח:

תחליף # x = y + 1/4 #. באופן כללי יותר, עבור משוואה של הטופס # ax ^ ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 #, אחד היה תחליף # x = y-b / (3a) #. אם אתה עובד דרך אלגברה, תראה כי זה תמיד גורם # x ^ 2 # לטווח להיעלם. במקרה זה נקבל:

# x ^ 3 -3/4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

# (y + 1/4) ^ 3 -3/4 (y + 1/4) ^ 2 - 1/8 = 0 #

(סוגריים מורחבים, לזכור את המשפט הבינומי:

# y + 3/4 y ^ 2 + 3/16 y + 1 / 64-3 / 4 y ^ 2-3 / 8y-3 / 64-1 / 8 = 0 #

(שימו לב כי השניים # y ^ 2 # מונחים בטל לבטל)

# y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

עכשיו יש לנו את אותו מספר תנאים כפי שעשינו בעבר, כי בעבר לא היה לנו # y # טווח. לאבד את # y ^ 2 # טווח הוא רווח מתמטי, מבטיח!

שלישית, לבצע תחליף נוסף (החלפה של וייטה: http://mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html) כדי להפוך את זה לתוך ריבועי:

תחליף # y = w + 1 / (16w) #. באופן כללי יותר, עבור משוואה של הטופס # y ^ 3 + py = q #, החלפה זו היא # y = w-p / (3w) #.

# y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

# (w + 1 / (16w)) ^ 3-3 / 16 (w + 1 / (16w)) = 5/32 #

# w / 3 + 3w + 3 / (256w) + 1 / (4096w ^ 3) -3 / 16w-3 / 256w = 5/32 #

(שימו לב ששניהם # w # ו # 1 / w # מונחים לבטל בדיוק)

# w ^ 3 + 1 / (4096w ^ 3) = 5/32 #

# w ^ 6-5 / 32w ^ 3 + 1/4096 = 0 #

(עכשיו, אתה יכול גם לשאול מה על פני כדור הארץ את היתרון של זה - יש לנו שיחק עם המשוואה 3 תואר שלנו עד שיש לנו משוואה 6 תואר, ללא ספק הפסד … אבל עכשיו אנחנו יכולים לחשוב על זה כמו משוואה ריבועית in # w ^ 3 #, ואנחנו יכולים לפתור משוואות ריבועיות …)

רביעית, לפתור את משוואה ריבועית עבור # w ^ 3 #

# w ^ 6-5 / 32w ^ 3 + 1/4096 = 0 #

# (w ^ 3) ^ 2-5 / 32 (w ^ 3) + 1/4096 = 0 #

שימוש במשוואה הריבועית:

# w = 3 = (5/32 + -sqrt (25 / 1024-1 / 1024)) / 2 #

# w = 3 = (5/32 + -sqrt (24/1024)) / 2 = (5/32 + -sqrt (24) / 32) / 2 #

# w = 3 = (5 + -sqrt (24)) / 64 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

יש לנו תשובה! עכשיו אנחנו רק צריכים לקשר אותו בחזרה המשתנה המקורי שלנו #איקס#.

חמישית, לחזור לתנאים המקוריים שלנו

# w ^ 3 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

קח את שורש הקוביה:

#w = (5 + -2sqrt (6)) / 64 ^ (1/3) #

#w = 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

נזכיר איך אנחנו קשורים # y # ל # w # מוקדם יותר: # y = w + 1 / (16w) #

# 1 = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 + 1 / (4 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)

עכשיו # 1 / 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# (1 + 2) = (1 + 2) = (1 + 2) = (1 + 2)) ^ ^ (1/3)) #

# (= 5 + -2) (- 5 + -2sqrt (6)) ^ (1/3) #

# (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 25 + 4 * 6 ^ (1/3)) #

# (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 1) = - - 5 + -2sqrt (6) ^ 1/3 #

(סוקראטי לא נראה להציע מינוס פלוס של פלוס מינוס, אז אנחנו צריכים לכתוב את זה ככה)

לכן

# (= 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3) / 4 - (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

אם נכפיל את סימני המינוס במושג השני הגדול נוכל לראות שאנו מקבלים שתי ביטויים זהים, כך שנוכל לשחרר את הסימנים הריבועיים / מינוס, ולפשט

# y = 1/4 (5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) #

לבסוף (!) זוכר כי קבענו # x = y + 1/4 #.

לכן

# x = (1 + 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

השישית, להסיק כמה שורשים אלה הם אמיתיים

לשני הביטויים בשורש הקובייה יש שורש אחד אמיתי ושני שורשים דמיוניים. מספר אמיתי # a # יש שלושה שורשים קוביה # a ^ (1/3) #, # a ^ (1/3) (1/2 + isqrt (3) / 2) #,# a ^ (1/3) (1/2-isqrt (3) / 2) #. עכשיו אנו יודעים כי הן ביטויים בתוך השורשים הקוביה הם חיוביים (הודעה # 5 = sqrt (25)> sqrt (24) = 2sqrt (6) #), ולכן המרכיבים הדמיוניים בערכים השני והשלישי עבור #איקס# לא יכול להסתכם באפס.

סיכום

לכן יש רק שורש אחד אמיתי #איקס# (כפי שהסקנו עד כה על ידי ניתוח פשוט יותר), ולכן רק קיצון מקומי אחד על העקומה אתה שואל, נתון על ידי הביטוי

# x = (1 + 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

או, עשרוני

# x = 0.90322 … #

אנו יכולים להסיק כי זה מינימום של הפונקציה על ידי העובדה כי יש רק אחד קיצוני ואת הפונקציה נוטה לאינסוף חיובי בשני הקצוות.