משולש משקפיים יש צדדים A, B, ו- C עם הצדדים B ו- C להיות שווה אורך. אם הצד A עובר בין (1, 4) ל (5, 1) ואזור המשולש הוא 15, מהן הקואורדינטות האפשריות של הפינה השלישית של המשולש?

תשובה:

שני הקודקודים מהווים בסיס של אורך 5, ולכן הגובה חייב להיות 6 כדי לקבל שטח 15. הרגל היא נקודת האמצע של הנקודות, ושש יחידות או בכיוון אנכי נותן # (33/5, 73/10)# או #(- 3/5, - 23/10) #.

הסבר:

טיפ Pro: נסו לדבוק באמנה של אותיות קטנות עבור הצדדים המשולשים ואת הבירות עבור קודקודים משולש.

אנחנו מקבלים שתי נקודות שטח של משולש משקפיים. שתי נקודות להפוך את הבסיס, # b = sqrt {(5-1) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5. #

כף הרגל # F # של הגובה הוא נקודת האמצע של שתי הנקודות, # (1 + 5) / 2, (4 + 1) / 2) = (3, 5/2) #

וקטור כיוון בין הנקודות הוא #(1-5, 4-1)=(-4,3)# עם גודל 5 כפי שחושב רק. אנחנו מקבלים את וקטור כיוון של הניצב על ידי החלפת נקודות שולל אחד מהם: #(3,4)# אשר חייב להיות גם בגודל חמש.

מאז השטח # A = frac 1 2 ב h = 15 # אנחנו מקבלים # h = (2 * 15) /b=6.#

אז אנחנו צריכים לזוז #6# יחידות מ # F # או בכיוון אנכי כדי לקבל את הקודקוד השלישי שלי אשר קראתי # C #:

# C = F pm 6 frac {(3,4)} {5} = (3, 5/2) pm 6/5 (3,4) #

# C = (33/5, 73/10) או C = (- 3/5, - 23/10) #

לבדוק: #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

השטח החתום הוא אז חצי המוצר הצולב

# A = frac 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) = 15 quad sqrt {} #

זה הסוף, אבל בואו להכליל את התשובה קצת. בואו נשכח שזה להיות שוהים. אם יש לנו C (x, y), האזור ניתן על ידי הנוסחה שרוך:

# A = frac 1 2 | (1) - (4) (5) + 5y-x + 4x-y 49 1/2 3x + 4y - 19 #

האזור הוא #15#:

# pm 15 = 1/2 (3x + 4y - 19) #

# 19 pm 30 = 3x + 4y #

# 49 = 3x + 4y # או # -11 = 3x + 4y #

אז אם קודקוד C הוא על אחד משני קווים מקבילים אלה, יהיה לנו משולש של שטח 15.

תן # יחסי ציבור = A # להיות הצד של המשולש isosceles שיש קואורדינטות של נקודות הסיום שלה כדלקמן

#Pto (1,4) # ו #Rto (5,1) #

תן את הקואורדינטות של הנקודה השלישית של המשולש להיות # (x, y) #.

כפי ש # (x, y) # הוא שווה מ- P ו- R אנחנו יכולים לכתוב

# (x-1) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

# => x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2y + 16 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-2y + 1 #

# => 8x-6y = 9 #

# => x = (9 + 6y) / 8 …… 1 #

שוב # (x, y) # להיות שווה מ P ו- R, הניצב נפל מ # (x, y) # ל #יחסי ציבור# חייב לחצות אותו, תן זה הרגל של הניצב או נקודת האמצע של #יחסי ציבור# להיות # T #

אז קואורדינטות של #Tto (3,2.5) #

עכשיו גובה של המשולש isosceles

# H = sqrt (x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) # #

ואת הבסיס של המשולש isosceles

# PR = A = sqrt (1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2) = 5 #

אז הבעיה הבעיה שלה

# 1 / 2xxAxxH = 15 #

# => H = 30 / A = 30/5 = 6 #

# xqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) = 6 #

# => (x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 …. 2

ב 2 ו 1 אנחנו מקבלים

# ((9 + 6y) / 8-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => 1/64 (6y-15) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => (6y-15) ^ 2 + 64 (y-2.5) ^ 2 = 36xx64 #

# => 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2 #

# => 100y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2 #

# => y ^ 2-5y + 6.25 = 4.8 ^ 2 #

# => (y-2.5) ^ 2 = 4.8 ^ 2 #

# => y = 2.5pm4.8 #

לכן # y = 7.3 ו- y = -2.3 #

מתי # y = 7.3 #

# x = (9 + 6xx7.3) /8.66.6#

מתי # y = -2.3 #

# x = (9 + 6xx (-2.3)) / 8 = -0.6 #

אז הקואורדינטות של הנקודה השלישית תהיה

# (6.6,7.3) ל- "Q באיור" #

או

# (- 0.6, -2.3) ל "S in figure" # #