הצד הגדול ביותר של המשולש הימני הוא ^ 2 + b ^ 2 ואת הצד השני הוא 2ab. איזה מצב יהפוך את הצד השלישי להיות הצד הקטן ביותר?

תשובה:

עבור הצד השלישי להיות הקצר ביותר, אנו דורשים # (1 + sqrt2) | b>> absa> absb # (וזה # a # ו # b # יש סימן זהה).

הסבר:

הצד הארוך ביותר של המשולש הימני הוא תמיד hypotenuse. אז אנחנו יודעים את אורך hypotenuse הוא # a ^ 2 + b ^ 2. #

תן את אורך הצד הלא ידוע להיות # c. # ואז מתוך משפט פיתגורס, אנחנו יודעים

# (2ab) ^ 2 + c ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 #

או

# c = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2- (2ab) ^ 2) # #

#color (לבן) c = sqrt (a ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4-4a ^ 2b ^ 2 #

#color (לבן) c = sqrt (a ^ 4aa ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) # #

#color (לבן) c = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) ^ 2) # #

#color (לבן) c = a ^ 2-b ^ 2 #

אנחנו גם דורשים שכל אורכי הצד יהיו חיוביים

• # a ^ 2 + b ^ 2> 0 #

  # => a! = 0 או b! = 0 #

• # 2ab> 0 #

  # => a, b> 0 או a, b <0 #

• # c = a ^ 2-b ^ 2> 0 #

  # <=> a ^ 2> b ^ 2 #

  # <=> absa> absb #

עכשיו, עבור כל המשולש, הצד הארוך ביותר צריך להיות קצר יותר מאשר סכום של שני הצדדים האחרים. אז יש לנו:

#color (לבן) (=>) 2ab + "" c צבע (לבן) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2ab + (a ^ 2-b ^ 2)> a ^ 2 + b ^ 2 #

# => צבע 2ab (לבן) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #

# b> "(b <0): # b>

יתר על כן, עבור הצד השלישי להיות הקטן ביותר, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #

או # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # או # a-b <sqrt2b # או #a <b (1 + sqrt2) #

שילוב כל ההגבלות הללו, אנו יכולים להסיק כי על מנת הצד השלישי להיות הקצר ביותר, אנחנו חייבים להיות # (1 + sqrt2) | b>> absa> absb ו (a, b <0 או a, b> 0) # #