איך לפשט root3 (1)?

תשובה:

#1# או #1^(1/3)# =#1#

הסבר:

השורש הקובע של 1 זהה לגידול 1 לכוח #1/3#. 1 לכוח של כל דבר הוא עדיין 1.

תשובה:

עובד את ריאל אנחנו מקבלים #root 3 {1} = 1 #.

כל מספר לא אפס מורכב יש שלושה שורשים קובייה, אז יש

#root 3 {1} = 1 או -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #

הסבר:

אם אנחנו עובדים במספרים ממשיים, אנחנו פשוט מציינים #root 3 {1} = root 3 {1 ^ 3} = 1 #. אני מניח שמדובר במספרים מורכבים.

אחד הדברים המוזרים שאנו מגלים כאשר אנו להתעמק מספרים מורכבים היא כי הפונקציה #f (z) = e ^ {z} # היא תקופתית. צמיחה מעריכית היא מעין ההפך של תקופתיים, אז זו הפתעה.

עובדה המפתח הוא אוילר של זהות בריבוע. אני קורא לזה אוילר זהותו האמיתית.

# e ^ {2 pi i} = 1 #

זהותו האמיתית של אוילר מראה # e ^ z # היא תקופתית עם תקופה # 2pi i #:

# f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z = f (z)

אנחנו יכולים להעלות את הזהות האמיתית של אוילר לכל כוח שלם # k #:

# e ^ {2 pi k i} = 1 #

מה כל זה קשור לשורש הקוביה של אחד? זה המפתח. זה אומר שיש מספר אינסופי של דרכים לכתוב אחד. לחלקם יש שורשים קובייה שונה מאחרים. זו הסיבה שמומחים לא-שלמים מייצרים ערכים מרובים.

זה הכל וינדופ גדול. בדרך כלל אני רק מתחיל את זה על ידי כתיבה:

# e ^ {2pi k i} = 1 quad # עבור מספר שלם # k #

# 1 3 {1} = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {i {2pi k} / 3} = cos (2pi k / 3) + i חטא (2pi k / 3) #

השלב האחרון הוא כמובן נוסחה של אוילר # e ^ {i theta} = cos theta + i חטא theta #

מאז יש לנו את # 2pi # המחזוריות של פונקציות טריג (אשר באה בעקבות המחזוריות של נוסחה מעריכית ו אוילר) יש לנו רק ערכים ייחודיים עבור שלוש רצופות # k #s. בואו נבדוק את זה # k = 0,1, -1 #:

# k #=0# quad quad cos ({2pi k} / 3) + i sin ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sin 0 = 1 #

# k #=1# 4 quad cos ({2pi} / 3) + i sin ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

# k #=-1# - quad quad cos (- {2pi} / 3) + i sin (- {2pi} / 3) = -1 / 2 - i sqrt {3} / 2 #

אז אנחנו מקבלים שלושה ערכים עבור שורש הקוביה של אחד:

#root 3 {1} = 1 או -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #