הוכחה כי N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) הוא מספר שלם?

תשובה:

לשקול # t ^ 3-21t-90 = 0 #

זה אחד שורש אמיתי שהוא #6# a.k.a. # (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3) #

הסבר:

שקול את המשוואה:

# t ^ 3-21t-90 = 0 #

באמצעות השיטה של Cardano לפתור את זה, תן #t = u + v #

לאחר מכן:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-7) (u + v) -90 = 0 #

כדי לחסל את המונח ב # (u + v) #, הוסף את האילוצים # uv = 7 #

לאחר מכן:

# u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0 #

הכפל דרך על ידי # u ^ 3 # ו לסדר מחדש כדי לקבל את ריבועי פנימה # u ^ 3 #:

# (u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0 #

לפי הנוסחה הריבועית, יש לכך שורשים:

# u = 3 = (90 + -sqrt (90 ^ 2- (4 * 343))) / 2 #

#color (לבן) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372) #

#color (לבן) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (6728) #

#color (לבן) (u ^ 3) = 45 + - 29sqrt (2) #

מאז זה אמיתי ואת הגזירה היה סימטרי ב # u # ו # #, אנחנו יכולים להשתמש באחד השורשים האלה # u ^ 3 # והשני עבור # v ^ 3 # כדי להסיק כי אפס האמיתי של # t ^ 3-21t-90 # J

# t_1 = שורש (3) (45 + 29sqrt (2)) + root (3) (45-29sqrt (2)) #

אבל אנו מוצאים:

#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#

אז אפס האמיתי של # t ^ 3-21t-90 # J #6#

לכן # 3 = שורש (3) (45 + 29sqrt (2)) + root (3) (45-29sqrt (2)) #

#צבע לבן)()#

הערת שוליים

כדי למצוא את המשוואה המעוקבת, השתמשתי בשיטה של קרדנו לאחור.

תשובה:

#N = 6 #

הסבר:

Ieties #x = 45 + 29 sqrt (2) # ו #y = 45-29 sqrt (2) # לאחר מכן

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy) ^ (1/3) y ^ (1/3) + y #

# (x y) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7 #

# x + y = 2 xx 45 #

לכן

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) #

או מתקשר #z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3) # יש לנו

# z ^ 3-21 z-90 = 0 #

עם # 90 = 2 xx 3 ^ 2 xx 5 # ו #z = 6 # הוא שורש כך

# x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6 #