האם המספר האמיתי של sqrt21, מספר רציונלי, מספר שלם, מספר שלם, מספר לא רציונלי?

תשובה:

זהו מספר לא רציונלי ולכן אמיתי.

הסבר:

תן לנו להוכיח את זה לראשונה #sqrt (21) # הוא מספר אמיתי, למעשה, השורש הריבועי של כל המספרים הריאליים החיוביים הוא אמיתי. אם #איקס# הוא מספר אמיתי, אז אנחנו מגדירים את המספרים החיוביים #sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x} #. זה אומר שאנחנו מסתכלים על כל המספרים האמיתיים # y # כך ש # y ^ 2 <= x # ולקחת את המספר האמיתי הקטן כי הוא גדול יותר מכל אלה # y #, מה שנקרא עליון. עבור מספרים שליליים, אלה # y #'s לא קיים, שכן עבור כל המספרים הממשיים, לוקח את הריבוע של מספר זה תוצאות מספר חיובי, וכל המספרים החיוביים גדולים יותר מספרים שליליים.

עבור כל המספרים החיוביים, תמיד יש כמה # y # זה מתאים למצב # y ^ 2 <= x #, כלומר #0#. יתר על כן, יש גבול עליון למספרים אלה, כלומר # x 1 # #, שכן אם # 0 <= y <1 #, לאחר מכן # x 1> y #, אם #y> = 1 #, לאחר מכן #y <= y ^ 2 <= x #, לכן # x 1> y #. אנו יכולים להראות כי עבור כל קבוצה ריקה בלתי מוגבלת של מספרים ריאליים, תמיד יש מספר אמיתי ייחודי שפועל כעל העליונה, בשל מה שנקרא השלמות של # RR #. אז עבור כל המספרים הריאליים החיוביים #איקס# יש אמת #sqrt (x) #. אנחנו יכולים גם להראות כי במקרה זה #sqrt (x) ^ 2 = x #, אבל אם אתה רוצה שאני לא אראה את זה כאן. לבסוף אנו מציינים זאת #sqrt (x)> = 0 #, מאז #0# הוא מספר שמתאים למצב, כאמור לעיל.

עכשיו על אי-הרציונליות של #sqrt (21) #. אם זה לא היה לא הגיוני (כל כך רציונלי), אנחנו יכולים לכתוב את זה כמו #sqrt (21) = a / b # עם # a # ו # b # מספרים מוחלטים # a / b # פשוט ככל האפשר, כלומר # a # ו # b # אין מחלק משותף, למעט #1#. עכשיו זה אומר # 21 = a ^ 2 / b ^ 2 #.

עכשיו אנו משתמשים במשהו הנקרא "גורם הממשלה" של המספרים הטבעיים. זה אומר שאנחנו יכולים לרשום כל מספר חיובי חיובי כמוצר ייחודי של מספרים ראשוניים. ל #21# זה #3*7# ועבור # a # ו # b # זה קצת מוצר שרירותי של primes # a = a_1 * … * a_n # ו # b = b_1 * … * b_m #. העובדה כי המחלק המשותף היחיד של # a # ו # b # J #1# הוא שווה לעובדה כי # a # ו # b # לחלופין לא לשתף primes בגורם שלהם, אז יש # a_i # ו #ב J# כך ש # a_i = b_j #. זה אומר ש # a ^ 2 # ו # b ^ 2 # גם לא חולקים כל primes, מאז # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # ו # b ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m #, ולכן המחלק היחיד המשותף של # a ^ 2 # ו # b ^ 2 # J #1#. מאז # a ^ 2 = 21b ^ 2 #, זה אומר # b ^ 2 = 1 #, לכן # b = 1 #. לכן #sqrt (21) = a #. שים לב כי זה רק מחזיק בהנחה כי #sqrt (21) # היא רציונלית.

עכשיו אנחנו יכולים כמובן לרוץ דרך כל מספרים חיוביים שלמים יותר #21# ולבדוק אם ריבוע אותם נותן #21#, אבל זו שיטה משעממת. כדי לעשות את זה בצורה מעניינת יותר, אנחנו פונים שוב primes שלנו. אנחנו יודעים את זה # a ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # ו #21=3*7#, לכן # 3 * 7 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n #. בצד שמאל, כל ראש מתרחשת רק פעם אחת, על יד ימין, כל ראש מתרחשת לפחות פעמיים, ותמיד כמות פעמים (אם # a_1 = a_n # זה היה instace להתרחש לפחות ארבע פעמים). אבל כפי שכבר נאמר, גורמים אלה הם ייחודיים, ולכן זה לא יכול להיות נכון. לכן # 21nea ^ 2 #, לכן #anesqrt (21) #, כלומר ההנחה הקודמת שלנו #sqrt (21) # להיות הגיוני מתברר טועה, ולכן #sqrt (21) # הוא לא רציונלי.

שים לב שאותו ארגומנט מחייב מספר שלם חיובי #איקס# עם גורם ראשוני שבו אחד primes apears מספר לא אחיד של פעמים, שכן הריבוע של מספר שלם תמיד יש את כל הגורמים העיקריים שלה apearing כמות אפילו פעמים. מכאן אנו מסיקים כי אם #איקס# הוא מספר שלם חיובי (#x inNN #) יש גורם ראשוני המתרחשת רק כמות לא אחידה של פעמים, #sqrt (x) # יהיה בלתי הגיוני.

אני מודע לכך הוכחה זו אולי נראה קצת ארוך, אבל הוא משתמש מושגים חשובים טופס במתמטיקה. ככל הנראה בכל תוכנית לימודים בתיכון, סוג זה של הנמקות אינם נכללים (אני לא בטוח 100%, אני לא יודע את תוכנית הלימודים של כל בית ספר תיכון בעולם), אבל עבור מתמטיקאים בפועל, להוכיח דברים הוא אחד הפעילויות החשובות ביותר שהם עושים. לכן רציתי להראות לך איזה סוג של מתמטיקה מאחורי לוקח את השורש הריבועי של הדברים. מה שאתה צריך לקחת את זה, זה באמת #sqrt (21) # הוא מספר לא רציונלי.