מהו התחום והטווח של (2/3) ^ x - 9?

תשובה:

דומיין: # (- oo, oo) #

טווח: # (- 9, oo) #

הסבר:

ראשית, שים לב # (2/3) ^ x-9 # מוגדר היטב עבור כל ערך ריאלי של #איקס#. אז התחום הוא כולו # RR #, כלומר # (- oo, oo) #

מאז #0 < 2/3 < 1#, הפונקציה # (2/3) ^ x # היא פונקציה הפחתת אקספוננציאלית אשר לוקח ערכים חיוביים גדולים כאשר #איקס# הוא גדול ושלילי, והוא אסימפטוטי ל #0# עבור ערכים חיוביים גדולים של #איקס#.

בסימון גבול ניתן לכתוב:

#lim_ (x -> - oo) (2/3) ^ x = -oo #

#lim_ (x-> oo) (2/3) ^ x = 0 #

# (2/3) ^ x # היא מתמשכת ו מונוטונית בהחלט ירידה, ולכן הטווח שלה הוא # (0, oo) #.

סחיטה #9# כדי למצוא את טווח # (2/3) ^ x # J # (- 9, oo) #.

תן:

#y = (2/3) ^ x-9 #

לאחר מכן:

# y + 9 = (2/3) ^ x #

אם #y> -9 # אז אנחנו יכולים לקחת יומנים של שני הצדדים למצוא:

# log (y + 9) = log ((2/3) ^ x) = x log (2/3) #

ולכן:

#x = log (y + 9) / log (2/3) #

אז עבור כל #y ב- (-9, oo) # אנו יכולים למצוא המקביל #איקס# כך ש:

# (2/3) ^ x-9 = y #

זה מאשר כי הטווח הוא כולו # (- 9, oo) #.