כיצד ניתן לפשט 2cos ^ 2 (4θ) -1 באמצעות נוסחה זווית כפולה?

תשובה:

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 = cos (8 theta) #

הסבר:

יש כמה נוסחאות זווית כפולה עבור קוסינוס. בדרך כלל המועדפת היא זו שהופכת קוסינוס לקוסינוס אחר:

# cos 2x = 2 cos ^ 2 x - 1 #

אנחנו יכולים למעשה לקחת את הבעיה בשני כיוונים. הדרך הפשוטה ביותר היא לומר # x = 4 theta # אז אנחנו מקבלים

# cos (8 theta) = 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

וזה די פשוט.

הדרך הרגילה ללכת היא לקבל את זה במונחים של # cos theta #. אנחנו מתחילים בכך # x = 2 theta. #

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

# = 2 cos ^ 2 (2 (2 theta)) - 1 #

# = 2 (2 cos ^ 2 (2 theta) - 1) ^ 2 - 1 #

# 2 (2 (2 cos ^ 2 theta -1) ^ 2 -1) ^ 2 -1 #

# = 128 cos ^ 8 theta - 256 cos ^ 6 theta + 160 cos ^ 4 theta - 32 cos ^ 2 theta + 1 #

אם נגדיר # x = c theta # יהיה לנו את הפולינום השביעי השמיני מהסוג הראשון, # T_8 (x) #, סיפוק

#cos (8x) = T_8 (cos x) #

אני מנחש שהדרך הראשונה היתה כנראה מה שהם מחפשים.