איך אתה מוצא את הערך המדויק של cos58 באמצעות סכום ההבדל, זווית כפולה או נוסחאות זווית וחצי?

תשובה:

זה בדיוק אחד השורשים של #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # איפה #T_n (x) # האם ה # n #הצ'בישב פולינום מהסוג הראשון. זהו אחד מששת ארבעת השורשים של:

# 87960930229680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ 26 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 558483788832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 34 - 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

הסבר:

# 58 ^ circ # אינו מכפיל של # 3 ^ circ #. מכפילי # 1 ^ circ # שאינם מכפילים # 3 ^ circ # הם לא מובנים עם יישור ומצפן, פונקציות טריג שלהם הם לא תוצאה של קומפוזיציה כלשהי של מספרים שלמים באמצעות חיבור, חיסור, כפל, חלוקה ריבוע השתרשות.

זה לא אומר שאנחנו לא יכולים לרשום ביטוי עבור #cos 58 ^ circ #. בוא ניקח את סימן התואר כדי מתכוון גורם # {2pi} / 360 #.

# e ^ {i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ + i sin 58 ^ circ #

# ^ ^ {- i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ - i sin 58 ^ circ #

# e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ} = 2 cos 58 ^ circ #

#cos 58 ^ circ = 1/2 (e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ}) #

זה לא מועיל.

אנחנו יכולים לנסות לרשום משוואה פולינומית שאחת משורשיה היא #cos 58 ^ circ # אבל זה כנראה הולך להיות גדול מדי כדי להתאים.

# theta = 2 ^ circ # J #180#של מעגל. מאז #cos 88 ^ circ = -cos 92 ^ circ # זה אומר #cos 2 ^ circ # מספק

#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #

#cos (180 ^ Circ -44 theta) = cos (46 theta) #

בואו נפתור את זה # theta # ראשון. #cos x = cos # יש שורשים # x = pm a + 360 ^ circ k, # מספר שלם # k #.

# 180 ^ circ -46 theta = pm 44 theta - 360 ^ circ k #

# 46 theta pm 44 theta = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

#theta = 2 ^ circ + 4 ^ k או tta = 90 ^ circ + 180 ^ circ k #

זה הרבה שורשים, ואנחנו רואים # theta = 58 ^ circ # ביניהם.

הפולינומים #T_n (x) #, שנקרא פולינומים Chebyshev מהסוג הראשון, לספק #cos (n theta) = T_n (cos theta) #. יש להם מקדמים שלמים. אנו מכירים את הראשונים מן הנוסחאות זווית כפולה משולשת:

#cos (0 theta) = 1 quad quad # לכן# quad quad T_0 (x) = 1 #

#cos (1 theta) = cos quad quad quad # לכן# quad quad T_1 (x) = x #

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 quad quad # לכן # quad quad T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #

#cos (3 theta) = 4cos ^ 3 theta - 3 cos quad quad quad # לכן # quad quad T_3 (x) = 4x ^ 4-3x #

יש יחס רקורסיה נחמד שאנחנו יכולים לאמת:

# T_ {n + 1} (x) = 2x T_ {n} (x) - T_ {n-1} (x) #

אז בתיאוריה אנחנו יכולים לייצר אלה עבור גדול # n # כפי שאנחנו אוהבים.

אם נניח # x = cos theta, # המשוואה שלנו

#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #

הופך

#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #

וולפרם אלפא שמח לספר לנו מה הם. אני אכתוב את המשוואה רק כדי לבדוק את עיבוד המתמטיקה:

כן, התשובה הזאת מקבלת זמן רב, תודה סוקראטית. Anway, אחד השורשים של כי 46 מדרגה פולינום עם מקדמים שלם הוא # cos 58 ^ circ #.

איך אתה מוצא את הערכים המדויקים של 112.5 מעלות שזוף באמצעות הנוסחה זווית וחצי?

Tan (112.5) = - (1 + sqrt (2)) 112.5 = 112 1/2 = 225/2 נ.ב.: זווית זו נמצאת ברבע השני. (225/2) = 225 (= 225) / = c = (225/5) = (225/2) -Sqrt (חטא ^ 2 (225/2) / cos ^ 2 (225/2)) אנחנו אומרים שזה שלילי כי הערך של שיזוף הוא תמיד שלילי ברבע השני! לאחר מכן, אנו משתמשים בנוסחת הזווית חצי למטה: חטא 2 (x / 2) = 1/2 (1-cosx) cos ^ 2 (x / 2) = 1/2 (1 + cosx) => tan (112.5) = (1 / cos (225)) / / cos ^ 2 (225/2) = = sqrt (1/2 (1 (cos (225)) / (1/2 (1 + cos (225 ) (=) = =) = (= 1) cos () 1 (cos (225)) / (1 + cos) 225 () שים לב: 225 = 180 + 45 => cos (225) = - cos (45) => tan (1 + sqrt) (1 +) - (cos45)) (1 +) - cos45)) = - sqrt

איך אתה מוצא את הערך המדויק של cos 36 ^ @ באמצעות סכום ההבדל, זווית כפולה או נוסחאות זווית וחצי?

כבר ענה כאן. אתה צריך קודם כל למצוא sin18 ^ @, אשר פרטים זמינים כאן. אז אתה יכול לקבל cos36 ^ @ כפי שמוצג כאן.

איך אתה מוצא טאן 22.5 באמצעות הנוסחה זווית וחצי?

(22.5) תשובה: - + 1 tran (= 22.5) tan t -> tan 2t = tan 45 = 1 השתמש בזהות טריג ': tan 2t = (2tan t) / (1 - tan ^ 2 t) 1) tan 2t = 1 (2 tan t) / (1 - tan ^ 2 t) -> -> tan ^ 2 t + 2 (tan t) - 1 = 0 פתור משוואה ריבועית זו עבור t t. D = d = 2 = b = 2 - 4ac = 4 + 4 = 8 -> d = + - 2sqrt2 ישנם 2 שורשים אמיתיים: tan t = -b / 2a + - d / 2a = -2/1 + 2sqrt2 / 2 = = 1 + - sqrt2 תשובה: tan t = tan (22.5) = 1 + - sqrt2 מאז שזוף 22.5 הוא חיובי, ואז לקחת את התשובה החיובית: שזוף (22.5) = 1 + sqrt2