תשובה:
כבר ענה כאן.
הסבר:
אתה צריך למצוא הראשון # sin18 ^ @ #, אשר פרטים זמינים כאן.
אז אתה יכול לקבל # cos36 ^ @ # כפי שמוצג כאן.
תשובה:
אנחנו פותרים #cos (2 theta) = cos (3 theta) # או # 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x # ל # x = cos 144 ^ circ # וקבל #cos 36 ^ circ = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}) #
הסבר:
אנחנו מקבלים #cos 36 ^ circ # בעקיפין קלה מן הנוסחה זווית כפולה משולשת עבור הקוסינוס. זה די מגניב איך זה נעשה, ויש לו סוף הפתעה.
אנו נתמקד #cos 72 ^ circ #. הזווית # theta = 72 ^ circ # מספק
#cos (2 theta) = cos (3 theta) # #
בואו נפתור את זה # theta #, נזכר #cos x = cos # יש פתרונות #x = pm a + 360 ^ circ k. #
# 2 theta = pm 3 theta + 360 ^ circ k #
# 5 theta = 360 ^ circ k # או # -theta = 360 ^ circ k #
#theta = 72 ^ circ k #
זה כולל את # 360 ^ circ k # כך שנוכל לשחרר את החלק "או".
אני לא כותב כאן תעלומה (למרות סיום ההפתעה) אז אני אזכיר את זה # cos (2 (72 ^ circ)) = cos (144 ^ circ) = - cos (36 ^ circ) # הוא גם פתרון חוקי ואנחנו רואים איך זה קשור לשאלה.
#cos (2 theta) = cos (3 theta) #
# 2 cos ^ 2 theta -1 = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #
עכשיו בואו # x = cos theta #
# 2 x ^ 2 -1 = 4 x ^ 3 - 3x #
# 4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x +1 = 0 #
אנחנו יודעים # x = cos (0 times 72 ^ circ) = 1 # הוא פתרון כזה # (x-1) # הוא גורם:
# (x - 1) (4 x ^ 2 + 2x - 1) = 0 #
ריבועית יש שורשים
#x = 1/4 (-1 pm sqrt {5}) #
החיובי צריך להיות #cos 72 ^ circ # ואת אחד שלילי #cos 144 ^ circ #.
#cos 144 ^ circ = 1/4 (-1 - sqrt {5}) #
#cos 36 ^ circ = cos (180 ^ circ - 144 ^ circ) = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}) #
זאת התשובה. ההפתעה היא שזה חצי יחס הזהב!
