מה זה f (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx אם f (pi / 6) = 1?

תשובה:

(x) + cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1) / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

הסבר:

אנחנו מתחילים על ידי פיצול אינטגרל לשלושה:

#int dx + int sin (x) dx = # dx-int tan ^

# = int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx-cos (x) #

אני אתקשר אינטגרל שמאל אינטגרל 1 ואת הזכות 1 אינטגרל 2

אינטגרל 1

כאן אנחנו צריכים שילוב על ידי חלקים טריק קטן. הנוסחה לאינטגרציה על ידי חלקים היא:

(x) x (x) x (x) x (x) dx = f (x) g (x) -int f '(x) g (x) dx #

במקרה זה, אני אתן #f (x) = e ^ x # ו #g '(x) = cos (x) #. אנחנו מקבלים את זה

#f '(x) = e ^ x # ו #g (x) = sin (x) #.

זה הופך את האינטגרל שלנו:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) dx #

עכשיו אנחנו יכולים להחיל אינטגרציה על ידי חלקים שוב, אבל הפעם עם #g '(x) = sin (x) #:

(x) - x (x) x - x - x (x) x (x) - x -

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) dx #

עכשיו אנחנו יכולים להוסיף את אינטגרל לשני הצדדים, נותן:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) #

#int e ^ xcos (x) dx = 1/2 (e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x)) + C = #

# = e ^ x / 2 (חטא (x) + cos (x)) + C #

אינטגרל 2

אנו יכולים להשתמש לראשונה בזהות:

#tan (theta) = חטא (theta) / cos (theta) #

זה נותן:

# (x) dx = int sin = 3 (x) / cos ^ 3 (x) dx = int (sin (x) sin = 2 (x)) / cos ^ 3 (x) dx #

כעת אנו יכולים להשתמש בזהות הפיתגוראורית:

# חטא ^ 2 (theta) = 1-cos ^ 2 (theta) #

#int (x) (1-cos ^ 2 (x))) / cos ^ 3 (x) dx #

עכשיו אנחנו יכולים להציג u- החלפה עם # u = cos (x) #. לאחר מכן אנו מתחלקים בנגזרת, # -sin (x) # להשתלב ביחס # u #:

# -int ((sin (x)) (1-cos ^ 2 (x))) / (ביטול (חטא (x)) cos ^ 3 (x)) du = -int 2) / u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du = #

# (+ int) 1 / u-1 / u ^ 3 du = ln | | + 1 / (2u ^ 2) + C = ln | cos (x) | + 1 / (2cos ^ 2 (x)) + C #

השלמת האינטגרל המקורי

עכשיו שאנחנו יודעים אינטגרל 1 אינטגרל 2, אנחנו יכולים לחבר אותם בחזרה אינטגרל המקורי לפשט כדי לקבל את התשובה הסופית:

(x) + cs (x) + cos (x) + c (x) +

עכשיו שאנחנו יודעים את antiderivative, אנחנו יכולים לפתור עבור קבוע:

#f (pi / 6) = 1 #

(pi / 6) / 2 (חטא (pi / 6) + cos (pi / 6)) - ln | cos (pi / 6) | -1 / 2sec ^ 2 (pi / 6) - cos (pi / 6) + C = 1 #

# 2/3-sqrt (3) / 2 + 1/2 (1/2 + sqrt (3) / 2) e ^ (pi / 6) -ln (sqrt (3) / 2) + C = 1 #

# C = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

# C = 5/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

זה נותן כי הפונקציה שלנו היא:

(x) + cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1) / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #