כיצד לשלב int e ^ x sinx cxx dx?

תשובה:

#int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

הסבר:

ראשית אנו יכולים להשתמש בזהות:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

שנותן:

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx #

עכשיו אנחנו יכולים להשתמש באינטגרציה על ידי חלקים. הנוסחה היא:

(x) x (x) x (x) x (x) dx = f (x) g (x) -int f '(x) g (x) dx #

אני אתן #f (x) = חטא (2x) # ו #g '(x) = e ^ x / 2 #. החלת הנוסחה, אנו מקבלים:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx #

עכשיו אנחנו יכולים להחיל אינטגרציה על ידי חלקים פעם נוספת, הפעם עם #f (x) = cos (2x) # ו #g '(x) = e ^ x #:

# xx) 2x (2x x) 2x) xx (2x) ex x dx #

# 1 / 2int (2x) ex x 2int sin (2x) e ^ x dx #

עכשיו יש לנו את האינטגרל משני צידי השוויון, כך שנוכל לפתור אותו כמו משוואה. ראשית, אנו מוסיפים פי 2 את האינטגרל לשני הצדדים:

# 2 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x + C #

מכיוון שרצינו חצי כמקדם על האינטגרל המקורי, אנו מחלקים את שני הצדדים #5#:

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (חטא (2x) e x x / 2-cos (2x) e ^ x) + C = #

# = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

תשובה:

# int e ^ x sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

הסבר:

אנחנו מחפשים:

# I = int e ^ x sinxcosx dx #

אשר משתמש בזהות:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

אנחנו יכולים לכתוב כמו:

# I = 1/2 int e ^ x sin2x dx #

# I = 1/2 I_S #

היכן לנוחות אנו מציינים:

# I_S = int e ^ x sin2x dx #, ו # I_C = int e ^ x cos2x dx #

עכשיו, אנחנו מבצעים אינטגרציה על ידי חלקים פעם נוספת.

תן # (=, u, = e ^ x, => (d), dx, = e ^ x), (dv) / dx, = cos2x, => v, = 1/2 sin2x):} #

לאחר מכן חיבור הנוסחה IBP אנו מקבלים:

# dx = (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S # ….. B}

עכשיו, יש לנו שתי משוואות בו זמנית בשני נוודים # I_S #. ו # I_C #, ולכן החלפת B לתוך A יש לנו:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x 1/2 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

# = -1/2 e ^ x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x}

מוביל ל:

# I = 1/2 I_S + C #

# = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #