כיצד לשלב int x ^ lnx?

תשובה:

#int x ^ ln (x) = dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

הסבר:

אנחנו מתחילים עם u- החלפה עם # u = ln (x) #. לאחר מכן אנו מתחלקים בנגזרת של # u # להשתלב ביחס # u #:

# (du) / dx = 1 / x #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du #

עכשיו אנחנו צריכים לפתור #איקס# במונחים של # u #:

# u = ln (x) #

# x = e ^ u #

#int x * x ^ u du = int e ^ u (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du #

אתה יכול לנחש כי אין זה אנטי-נגדי אלמנטרי, ואתה תהיה צודק. עם זאת, אנו יכולים להשתמש בטופס עבור פונקציית השגיאה הדמיונית, #erfi (x) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

כדי לקבל את האינטגרל שלנו לתוך טופס זה, ייתכן שיש לנו רק משתנה אחד בריבוע של מעריך # e #, אז אנחנו צריכים להשלים את הכיכר:

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2 + k #

# u ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + k #

# k = -1 / 4 #

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int = e ^ 2 + u) du = int e ^ (u + 1/2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int e ^ ((u + 1/2) ^ 2) du #

עכשיו אנחנו יכולים להציג u- החלפה עם # t = u + 1/2 #. הנגזרת היא פשוט #1#, ולכן אנחנו לא צריכים לעשות שום דבר מיוחד כדי להשתלב ביחס # t #:

# t = 2) d ^ = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2 * erfi (t) + C #

עכשיו אנחנו יכולים לבטל את כל החלפות להגיע:

(+ 1/2) + C = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #