כיצד לחשב סכום זה? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n

תשובה:

ראה למטה.

הסבר:

לוקח בחשבון #abs x <1 #

# num (n = 1) ^ oo (-1) nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n #

אבל # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # ו

# d = 2 / dx ^ 2) n = 1) ^ ^ (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # לאחר מכן

# xum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

תשובה:

# # num (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # מתי # | x | <1 #

הסבר:

אנו מתחילים בכתיבת חלק מהמקדמים:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … = #

הדבר הראשון שאנחנו רוצים להסתכל הוא המקדמים (מידת #איקס# יכול להיות מותאם בקלות על ידי הכפלת וחלוקת הסדרה על ידי #איקס#, ולכן הם לא חשובים). אנו רואים שכולם מכפילים שניים, כך שנוכל להביא גורם של שניים:

# = 2 (x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ 4-10x ^ 5 …) #

המקדמים בתוך סוגריים אלה יכולים להיות מוכרים כסדרה הבינומית עם כוח של # אלפא = -3 #:

# (1 + x) ^ אלפא + 1 + אלפאקס + (אלפא-1)) / (2!) X ^ 2 + (אלפא-1) (אלפא -2)) / (3!) X ^ 3 … #

# (1 + x) ^ - 3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

אנו מבחינים בכך שהמוצגים של כל המונחים בסוגריים גדולים יותר בשניים בהשוואה לסדרה שאנו נגזרים זה עתה, לכן עלינו להכפיל # x ^ 2 # כדי לקבל את הסדרה הנכונה:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

משמעות הדבר היא כי הסדרה שלנו (כאשר הוא מתכנס) שווה ל:

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

רק כדי לוודא שאנחנו לא עושים טעות, אנחנו יכולים במהירות להשתמש בסדרה בינומית לחשב סדרה עבור # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2 (1-3x + (- 3) (- 4)) / (2!) X ^ 2 + ((- 3) (- 4) 5)) / (3!) X ^ 3 …) = #

# # 2x ^ 2 (1-3x + (4!) / (2 * 2!) X ^ 2 (5!) / (2 * 3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4 * 3) / 2x ^ 2- (5 * 4) / 2x ^ 3 …) = #

אנו יכולים לתאר דפוס זה כך:

# = 2x ^ 2sum_ (n = 0) ^ ^ (n = 0 ^ ^ n (n (1)) / 2x ^ (n-2) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn n-1) x ^ n #

מאז המונח הראשון הוא פשוט #0#, אנחנו יכולים לכתוב:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

שהיא הסדרה שהתחלנו בה, לאמת את התוצאה שלנו.

עכשיו אנחנו רק צריכים לגלות את המרווח התכנסות, כדי לראות כאשר בסדרה למעשה יש ערך. אנו יכולים לעשות זאת על ידי בחינת תנאי ההתכנסות עבור הסדרה הבינומית ומצא כי הסדרה מתכנסת כאשר # | x | <1 #