מהו arclength של r = 4theta על theta ב [-pi / 4, pi]?

תשובה:

#approx 27.879 #

הסבר:

זוהי שיטת מתאר. טחינה של חלק מהעבודה נעשתה על ידי המחשב.

אורך קשת #s = int dot s dt #

ו #dot s = sqrt (vec v * vec v) #

עכשיו, עבור #vec r = 4 theta hat r #

#vec v = נקודה r r r r + r dot theta hat theta #

# = 4 dot theta hat r + 4 theta dot theta hat theta #

# = 4 נקודה theta (כובע r + theta Hat theta) # #

לכן #dot s = 4 נקודה theta sqrt (1 + theta ^ 2) # #

אורך קשת # t = 4 int_ (t_1) ^ (t_2) sqrt (1 + theta ^ 2) נקודה theta dt #

# = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2) d theta #

# = 2 theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) theta _ (- pi / 4) ^ (pi) # מחשב פתרון. ראה Youtube מקושר כאן לשיטה

#approx 27.879 # מחשב פתרון

מצא את הערך של theta, אם, קוס (theta) / 1 - חטא (theta) + cos (theta) / 1 + חטא (theta) = 4?

Theta = pi / 3 או 60 ^ @ בסדר. יש לנו: costheta / (1-sintheta) + costheta / (1 + sintheta) = 4 בואו להתעלם RHS לעת עתה. (1-sintheta) (1-sintheta) (1 + sintheta) (costheta) (1-sintheta) (1-sintheta) (1-sintheta) ) (1 + סינטהאטה))) / (1-sin ^ 2theta) (costheta (1-sintheta + 1 + sintheta)) / (1-sin 2 2theta) (2costheta) / (1-sin ^ 2theta) על פי הזהות הפיתגוראית, החטא, הקונטהא 1 = 1. וכך, אנו יכולים לכתוב: (2costheta) / cos ^ 2theta 2 / costheta = 4 costheta / 2 = 1/4 costheta = 1/2 theta = cos ^ - 1 (1/2) theta = pi / 3, כאשר 0 <= theta <= pi. במעלות, theta = 60 ^ @ כאשר 0 ^ @ = <theta <= 180 ^ @

מהו arclength של r = 3 / 4theta על תטא ב [-pi, pi]?

L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)). > r = 3 / 4theta r ^ 2 = 9 / 16theta ^ 2 r = 3/4 (r ') ^ 2 = 9/16 אורך האורך ניתן על ידי: L = int_ pi ^ pisqrt (9 / 16theta ^ 2 + 9/16) d theta לפשט: L = 3 / 4int_ pi ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta מ סימטריה: L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta החל את החלופה theta = טנפי: L = 3 / 2intsec ^ 3phidphi זהו אינטגרל ידוע: L = 3/4 [secphitanphi + ln | secphi + tanphi |] הפוך את החלופה: L = 3/4 [thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + ln (= pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1) (pi + 2 + 1).

מהו arclength של (t-3, t + 4) על t ב [2,4]?

A = 2sqrt2 הנוסחה לאורך arct פרמטרי היא: A = int_a ^ b sqrt = (dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) dt אנו מתחילים על ידי מציאת שני הנגזרים: dx / dt = 1 dy / dt = 1 זה נותן כי אורך arc הוא: A = int_2 ^ 4sqrt (1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_2 ^ 4sqrt2 dt = [sqrt2t] _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 = 2sqrt2 למעשה , שכן הפונקציה הפרמטרית היא כל כך פשוטה (זה קו ישר), אנחנו אפילו לא צריכים את הנוסחה האינטגרלית. אם אנו מתווים את הפונקציה בגרף, אנו יכולים פשוט להשתמש בנוסחת המרחק הרגיל: A = sqrt (x_1-x_2) = 2 + (y_1-y_2) ^ 2 = = sqrt (4 + 4) = sqrt8 = sqrt = 4 * 2) = 2sqrt2 זה נותן לנו את אותה תוצאה כמו אינטגרל, מראה כי שיטה או עובד, אם כי במקרה זה, אני