מהו arclength של (t-3, t + 4) על t ב [2,4]?

תשובה:

# A = 2sqrt2 #

הסבר:

הנוסחה לאורך arct פרמטרי היא:

# A = int_a ^ b sqrt (dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) dt #

אנו מתחילים על ידי מציאת שני נגזרים:

# dx / dt = 1 # ו # dy / dt = 1 #

זה נותן כי אורך קשת הוא:

# D = = = = 4sqrt = 1 = 2 + 1 ^ 2) dt = int_2 ^ 4sqrt2 dt = sqrt2t _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 = 2sqrt2 #

למעשה, מכיוון שהתפקוד הפרמטרי הוא פשוט כל כך (הוא קו ישר), אנחנו אפילו לא צריכים את הנוסחה האינטגרלית. אם אנו מתווים את הפונקציה בגרף, אנו יכולים פשוט להשתמש בנוסחת המרחק הרגיל:

# (= 4 = 4) = sqrt8 = sqrt (4 * 2) = 2sqrt2 # (= x = x_2) = 2 + (y_1-y_2)

זה נותן לנו את אותה תוצאה כמו אינטגרל, מראה כי או שיטה פועלת, אם כי במקרה זה, אני ממליץ על השיטה הגרפית כי זה פשוט יותר.

מהו arclength של r = 3 / 4theta על תטא ב [-pi, pi]?

L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)). > r = 3 / 4theta r ^ 2 = 9 / 16theta ^ 2 r = 3/4 (r ') ^ 2 = 9/16 אורך האורך ניתן על ידי: L = int_ pi ^ pisqrt (9 / 16theta ^ 2 + 9/16) d theta לפשט: L = 3 / 4int_ pi ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta מ סימטריה: L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta החל את החלופה theta = טנפי: L = 3 / 2intsec ^ 3phidphi זהו אינטגרל ידוע: L = 3/4 [secphitanphi + ln | secphi + tanphi |] הפוך את החלופה: L = 3/4 [thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + ln (= pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1) (pi + 2 + 1).

מהו arclength של r = 4theta על theta ב [-pi / 4, pi]?

כ- 27.879 זוהי שיטת מתאר. טחינה של חלק מהעבודה נעשתה על ידי המחשב. ארק אורך s = int dot s dt ו dot s = sqrt (vec v * vec v) עכשיו, עבור vec r = 4 theta hat rc vc = dot r r r r r r r dot theta hat theta = 4 dot theta כובע + טטה + 4 תטא ת'אטה = 4 דטה תטה = 4 דאט תטה (כובע + תטה כובע תטה) אז נקודה = 4 dot theta sqrt (1 + theta ^ 2) אורך קשת s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2 (1 + theta ^ 2) d theta = 2 [theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + (pi / 4) ^ (pi) פתרון מחשב. ראה Youtube מקושר כאן על השיטה כ 27.879 פתרון מחשב

מהו arclength של (2t ^ 2-t, t ^ 4-t) על t ב [-4,1]?

הנוסחה של arclength L היא L = int_a ^ b sqrt (dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) dt המשוואות הפרמטריות שלך הן x = 2t ^ 2-t ו- y = t ^ 4-t , כך dx / dt = 4t-1 ו dy / dt = 4t ^ 3-1. עם מרווח של [a, b] = [-4,1], זה עושה את L = int_4 ^ 1sqrt ((4t-1) ^ 2 + (4t ^ 3-1) ^ 2) dt בפנים, 4 t - 1) ^ 2 + (4 t ^ 3 - 1) ^ 2, מפשט ל 16 t ^ 6-8 t ^ 3 + 16 t ^ 2-8 t + 2, אבל זה לא הופך את אינטגרל בלתי מוגבל כל קל יותר. והאינטגרל המספרי שלך הוא בערך 266.536.