מהו arclength של (2t ^ 2-t, t ^ 4-t) על t ב [-4,1]?

נוסחת האורך # L # J

# L = int_a ^ b sqrt (dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) dt #

המשוואות הפרמטריות שלך הן

# x = 2t ^ 2-t ו- y = t ^ 4-t #, לכן

# dx / dt = 4t-1 ו- dy / dt = 4t ^ 3-1 #.

עם מרווח של # a, b = -4,1 #, זה עושה

# L = int_-4 ^ 1sqrt ((4t-1) ^ 2 + (4t ^ 3-1) ^ 2) dt #

הצד הפנימי, # (4 t - 1) ^ 2 + (4 t ^ 3 - 1) ^ 2 #, מפשט # 16 t ^ ^ 6-8 t ^ 3 + 16 t ^ 2-8 t + 2 #, אבל זה לא הופך את אינטגרל בלתי מוגבל קל יותר.

והאינטגרל המספרי שלך הוא בערך 266.536.

מהו arclength של r = 3 / 4theta על תטא ב [-pi, pi]?

L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)). > r = 3 / 4theta r ^ 2 = 9 / 16theta ^ 2 r = 3/4 (r ') ^ 2 = 9/16 אורך האורך ניתן על ידי: L = int_ pi ^ pisqrt (9 / 16theta ^ 2 + 9/16) d theta לפשט: L = 3 / 4int_ pi ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta מ סימטריה: L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta החל את החלופה theta = טנפי: L = 3 / 2intsec ^ 3phidphi זהו אינטגרל ידוע: L = 3/4 [secphitanphi + ln | secphi + tanphi |] הפוך את החלופה: L = 3/4 [thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + ln (= pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1) (pi + 2 + 1).

מהו arclength של r = 4theta על theta ב [-pi / 4, pi]?

כ- 27.879 זוהי שיטת מתאר. טחינה של חלק מהעבודה נעשתה על ידי המחשב. ארק אורך s = int dot s dt ו dot s = sqrt (vec v * vec v) עכשיו, עבור vec r = 4 theta hat rc vc = dot r r r r r r r dot theta hat theta = 4 dot theta כובע + טטה + 4 תטא ת'אטה = 4 דטה תטה = 4 דאט תטה (כובע + תטה כובע תטה) אז נקודה = 4 dot theta sqrt (1 + theta ^ 2) אורך קשת s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2 (1 + theta ^ 2) d theta = 2 [theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + (pi / 4) ^ (pi) פתרון מחשב. ראה Youtube מקושר כאן על השיטה כ 27.879 פתרון מחשב

מהו arclength של (t-3, t + 4) על t ב [2,4]?

A = 2sqrt2 הנוסחה לאורך arct פרמטרי היא: A = int_a ^ b sqrt = (dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) dt אנו מתחילים על ידי מציאת שני הנגזרים: dx / dt = 1 dy / dt = 1 זה נותן כי אורך arc הוא: A = int_2 ^ 4sqrt (1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_2 ^ 4sqrt2 dt = [sqrt2t] _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 = 2sqrt2 למעשה , שכן הפונקציה הפרמטרית היא כל כך פשוטה (זה קו ישר), אנחנו אפילו לא צריכים את הנוסחה האינטגרלית. אם אנו מתווים את הפונקציה בגרף, אנו יכולים פשוט להשתמש בנוסחת המרחק הרגיל: A = sqrt (x_1-x_2) = 2 + (y_1-y_2) ^ 2 = = sqrt (4 + 4) = sqrt8 = sqrt = 4 * 2) = 2sqrt2 זה נותן לנו את אותה תוצאה כמו אינטגרל, מראה כי שיטה או עובד, אם כי במקרה זה, אני