שקול 3 מעגלים שווים של רדיוס r בתוך מעגל נתון של רדיוס R כדי לגעת בשניים האחרים ובמעגל הנתון כפי שמוצג באיור, ואז האזור של האזור המוצלל שווה ל?

אנחנו יכולים ליצור ביטוי עבור האזור של האזור מוצל כך:

#A_ "צל" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "מרכז" #

איפה #A_ "מרכז" # הוא שטח הקטע הקטן בין שלושת המעגלים הקטנים.

כדי למצוא את השטח של זה, אנחנו יכולים לצייר משולש על ידי חיבור מרכזים של שלושה עיגולים לבנים קטנים יותר. מאז לכל מעגל יש רדיוס של # r #, אורך כל צד של המשולש הוא # 2r # והמשולש הוא שווה צלעות ולכן יש זוויות של # 60 ^ o # כל אחד.

אנו יכולים אפוא לומר כי זווית האזור המרכזי היא השטח של המשולש הזה מינוס שלושת המגזרים של המעגל. גובה המשולש הוא פשוט #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, ולכן השטח של המשולש הוא # 1/2 * בסיס * גובה = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

השטח של שלושה מקטעי מעגל בתוך המשולש הזה הם למעשה אותו אזור כמו מחצית של אחד המעגלים (בשל זוויות של # 60 ^ o # כל אחד מהם, או #1/6# מעגל, כך שנוכל להסיק את השטח הכולל של המגזרים האלה להיות # 1/2 pir ^ 2 #.

לבסוף, אנחנו יכולים לעבוד את האזור של אזור המרכז להיות #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) # #

כך לחזור הביטוי המקורי שלנו, את האזור של האזור מוצל

# piR ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) # #

תשובה:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3)) #

הסבר:

בואו נספק למעגלים הלבנים רדיוס של # r = 1 #. המרכזים יוצרים משולש צדדי של צד #2#. כל חציון / גובה הוא #sqrt {3} # כך המרחק בין קודקוד כדי centroid הוא # 2/3 sqrt {3} #.

Centroid הוא מרכז המעגל הגדול, כך המרחק בין מרכז המעגל הגדול למרכז המעגל הקטן. אנחנו מוסיפים רדיוס קטן של # r = 1 # להשיג

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

האזור שאנו מחפשים הוא שטח המעגל הגדול פחות המשולש שווה צלעות ואת הנותרים #5/6# של כל מעגל קטן.

# A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

אנחנו בקנה מידה # r ^ 2 # בכללי.