מהו אינטגרל של sqrt (9-x ^ 2)?

בכל פעם שאני רואה את הפונקציות האלה, אני מזהה (על ידי תרגול הרבה) כי אתה צריך להשתמש תחליף מיוחד כאן:

#int sqrt (9-x ^ 2) dx #

#x = 3sin (u) #

זה אולי נראה כמו תחליף מוזר, אבל אתה הולך לראות למה אנחנו עושים את זה.

#dx = 3cos (u) du #

החלף כל דבר באינטגרל:

#int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du #

אנחנו יכולים להביא את 3 מתוך אינטגרל:

# 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du #

# 3 * int sqrt (9-9sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

אתה יכול גורם 9:

# 3 * int sqrt (9 (1-sin ^ 2 (u))) * cos (u) du #

# 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

אנחנו יודעים את הזהות: # cos ^ 2x + חטא ^ 2x = 1 #

אם נפתור # cosx #, אנחנו מקבלים:

# cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #

#cosx = sqrt (1-sin ^ 2x) #

זה בדיוק מה שאנחנו רואים אינטגרל, כך שאנחנו יכולים להחליף אותו:

# 9 int cos ^ 2 (u) du #

אתה אולי מכיר את זה כמו antiderivative בסיסית, אבל אם לא, אתה יכול להבין את זה ככה:

אנו משתמשים בזהות: # cos ^ 2 (u) = (1 + cos (2u)) / 2 #

# 9 int (1 + cos (2u)) / 2 du #

# 9/2 int 1 + cos (2u) du #

# 9/2 (int 1du + int cos (2u) du #

# 9/2 (u + 1 / 2sin (2u)) + C # (אתה יכול לעבוד על זה על ידי החלפת)

# 9/2 u + 9/4 חטא (2u) + C #

עכשיו, כל מה שאנחנו צריכים לעשות הוא לשים # u # לתוך פונקציה. בואו נסתכל אחורה איך הגדירו את זה:

#x = 3sin (u) #

# x / 3 = חטא (u) #

להשיג # u # מתוך זה, אתה צריך לקחת את הפונקציה ההופכית של #חטא# על שני הצדדים, זה # arcsin #:

#arcsin (x / 3) = arcsin (חטא (u)) #

#arcsin (x / 3) = u #

עכשיו אנחנו צריכים להכניס אותו לפתרון שלנו:

# 9/2 arcsin (x / 3) + 9/4 חטא (2arcsin (x / 3)) + C #

זה הפתרון הסופי.