מהי המשוואה של הקו המשיק של F (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2 ב- x = 5?

המשוואה של הקו המשיק היא של הטופס:

# y = color (כתום) (א) x + צבע (סגול) (b) #

איפה # a # הוא המדרון של הקו הישר הזה.

כדי למצוא את השיפוע של קו משיק זה #f (x) # בנקודה # x = 5 # אנחנו צריכים להבדיל #f (x) #

#f (x) # היא פונקציית מנה של הטופס # (u (x)) / (v (x)) #

איפה #u (x) = x-3 # ו #v (x) = (x-4) ^ 2 #

# (x () x (x) (x) x (x) x (x)

#u '(x) = x'-3' #

#color (אדום) (u '(x) = 1) #

#v (x) # היא פונקציה מרוכזת ולכן אנחנו צריכים ליישם את הכלל שרשרת

תן #g (x) = x ^ 2 # ו #h (x) = x-4 #

#v (x) = g (h (x)) #

# x (x) = g (h (x)) * h (x) # #

#g '(x) = 2x # לאחר מכן

# ('h) x = 2 (h (x)) = 2 (x-4) #

#h '(x) = 1 #

# x (x) = g (h (x)) * h (x) # #

#color (אדום) (v '(x) = 2 (x-4) #

# (x () x (x) (x) x (x) x (x)

(x-4) (x-3)) / (x-4) ^ 2) ^ 2 (=

# ('x) = (x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / (x-4) ^ 2 #

(x-4) (4-x) = (x-4) (x-4-2 (x-3)

(x-4) (x-4-2x + 6)) / (x-4) ^ 4 #

# ('x) = (x-4) (x + 2)) / (x-4) ^ 4 #

לפשט את הגורם המשותף # x-4 # בין המונה והמכנה

# x (+) (x-4) ^ 3) # #

כי הקו המשיק עובר דרך הנקודה # x = 5 # כך נוכל למצוא את הערך של המדרון # a # על ידי החלפה # x = 5 # in # f '(x) #

#color (כתום) (a = f '(5)) #

#a = (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3 #

# a = -3 / 1 ^ 3 #

#color (כתום) (a = -3) # #

בהתחשב abscissa של נקודת משיק #color (חום) (x = 5) # # מאפשר

מאפשר למצוא שלה לתאם # y = f (5) #

#color (חום) (y = f (5)) = (5-3) / (5-4) ^ 4 #

# y = 2/1 #

#color (חום) (y = 2) # #

לאחר הקואורדינטות של נקודת משיק #color (חום) (5; 2)) # ואת המדרון #color (כתום) (a = -3) # # בוא נמצא #color (סגול) (b) #

מאפשר להחליף את כל הערכים הידועים במשוואה של הקו המשיק כדי למצוא ערך #color (סגול) (b) #

# צבע (חום) (y) = צבע (כתום) (א) צבע (חום) (x) + צבע (סגול) (b) #

# 2 = -3 (5) + צבע (סגול) (b) #

# 2 = 15 + צבע (סגול (b) #

# 17 = צבע (סגול) (b) #

לכן, המשוואה של הקו המשיק בנקודה #color (חום) (5; 2)) # J

# y = -3x + 17 #