איך אתה מוצא את כל הנקודות על העקומה x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 כאשר הקו המשיק מקביל לציר ה- x, והנקודה שבה הקו המשיק מקביל לציר ה- y?

תשובה:

הקו המשיק מקביל ל #איקס# ציר כאשר המדרון (ומכאן # dy / dx #) הוא אפס והוא מקביל ל # y # ציר כאשר המדרון (שוב, # dy / dx #) הולך ל # oo # או # -oo #

הסבר:

נתחיל בחיפוש # dy / dx #:

# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #

# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #

# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #

# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #

עכשיו, # dy / dx = 0 # כאשר nuimerator הוא #0#, ובלבד שגם זה לא יהווה את המכנה #0#.

# 2x + y = 0 # מתי #y = -2x #

יש לנו עכשיו שתי משוואות:

# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #

#y = -2x #

פתור (על ידי החלפה)

# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #

# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #

# 3x ^ 2 = 7 #

#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #

שימוש #y = -2x #, אנחנו מקבלים

המשיק לעקומה אופקי בשתי הנקודות:

# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # ו # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #

(שימו לב כי זוג אלה לא עושים גם את המכנה של # dy / dx # שווה ל #0#)

כדי למצוא את הנקודות שבהן משיק הוא אנכי, להפוך את המכנה של # dy / dx # שווה tpo #0# (מבלי להפוך את המונה #0#).

אנחנו יכולים לעבור את הפתרון, אבל את הסימטריה של המשוואה שאנחנו מקבלים:

# x = -2y #, לכן

#y = + - sqrt21 / 3 #

ואת הנקודות על העקומה שבה משיק הוא אנכי הם:

# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # ו # ((2sqrt21) / 3, -qq21 / 3) # #

דרך אגב. כי יש לנו את הטכנולוגיה, הנה הגרף של אליפסה מסובבת זו: (שים לב # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1.528 # אשר ניתן לראות בתרשים.)

גרף {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11.3, 11.2, -5.665, 5.585}

תשובה:

רק באמצעות מתמטיקה בבית הספר התיכון אני מקבל

משיקים מקבילים לציר x ב:

# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) ו- (sqrt {7/3}, -2 sqrt {7/3}) #

משיקים מקבילים לציר y ב:

# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) ו- (2sqrt {7/3}, -qqrt {7/3}) #

הסבר:

הצצתי בתשובתו של ג'ים, שנראית כמו טיפול חצץ מתוק. אבל לא יכולתי שלא להרגיש עצוב עבור כל תלמידי התיכון שם בחוץ בארץ סוקרטית שרוצים למצוא משיקים של הקימורים אלגברי אבל הם עדיין שנים הרחק חצץ.

למרבה המזל הם יכולים לעשות את הבעיות האלה רק באמצעות אלגברה I.

# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #

זה יכול להיות קצת מסובך עבור דוגמה ראשונה, אבל בואו נלך עם זה. אנחנו כותבים את העקומה שלנו #f (x, y) = 0 # איפה

#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #

בוא ניקח # (r, s) # כנקודה # f #. אנחנו רוצים לחקור # f # סמוך ל # (r, s) # אז אנחנו כותבים

#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #

# (+ r (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s) + (s + (y)) ^ 2-7 #

אנו מתרחבים, אך איננו מרחיבים את תנאי ההבדל # x-r # ו #כ ן#. אנחנו רוצים לשמור על אלה שלם כדי שנוכל להתנסות עם ביטול כמה מאוחר יותר.

# (x, y) = r + 2 + 2r (xr) + (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (y)) + s + 2 + 2s (ys) + (ys) ^ 2-7 #

# (+ r) + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) כ ן)#

# (r + s) + (2s +) (x-r) + (2-r) (y-s) + (x-r)

אמרנו # (r, s) # הוא פועל # f # לכן #f (r, s) = 0 #.

(x-r) (x-r) + 2 (y + s) + 2 (+ r) (y-s)

אנחנו מיון לפי תנאי תואר, ואנחנו יכולים להתנסות עם קירובים ל # f # סמוך ל # (r, s) # על ידי הפלת מעלות גבוהות. הרעיון הוא מתי # (x, y) # בקרבת מקום # (r, s) # לאחר מכן # x-r # ו #כ ן# הם קטנים, הריבועים שלהם ואת המוצר הם קטנים יותר.

בואו פשוט ליצור כמה קירובים ל # f #. מאז # (r, s) # הוא על העקומה, קירוב מתמיד, להפיל את כל ההבדל במונחים, הוא

# f_0 (x, y) = 0 #

זה לא מרגש במיוחד, אבל זה נכון אומר לנו נקודות ליד # (r, s) # ייתן ערך קרוב לאפס עבור # f #.

בואו נהיה יותר מעניינים ושמור על התנאים הלינאריים.

# f_1 (x, y) = (2s + s) (x-r) + (2 + r) (y-s) #

כאשר אנו קובעים את זה לאפס, אנחנו מקבלים את קירוב ליניארי הטוב ביותר # f # סמוך ל # (r, s), # שהוא קו משיק ל # f # ב # (r, s) # עכשיו אנחנו מגיעים למקום כלשהו.

# 0 = (2r + s) (x-r) + (2 + r) (y-s) #

אנחנו יכולים לשקול קירובים אחרים גם כן:

# x (r +) (x-r) + (2 + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #

# (x + r) + (2 + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s)

אלה הם משיק סדר גבוה יותר, אלה סטודנטים מכללה כמעט אף פעם לא להגיע. כבר עברנו מעבר לחישוב המכללה.

יש קירובים יותר, אבל אני מזהיר כי זה מקבל זמן רב. עכשיו, כאשר למדנו כיצד לעשות חשבון באמצעות אלגברה בלבד, בואו נעשה את הבעיה.

אנחנו רוצים למצוא את הנקודות שבהן הקו המשיק מקביל ל #איקס# ציר ו # y # ציר.

מצאנו את הקו המשיק שלנו ב # (r, s) # J

# 0 = (2r + s) (x-r) + (2 + r) (y-s) #

מקביל ל #איקס# ציר פירושו משוואה #y = טקסט {קבוע} #. אז המקדם ב #איקס# חייב להיות אפס:

# 2r + s = 0 #

#s = -2r #

# (r, s) # הוא על העקומה כך #f (r, s) = 0 #:

# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #

# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #

#r = pm sqrt {7/3} #

מאז # s = -2r # הנקודות

# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) ו- (sqrt {7/3}, -2 sqrt {7/3}) #

באופן דומה במקביל לציר y פירושו # 2s + r = 0 # אשר צריך פשוט להחליף x ו- y בשל הסימטריה של הבעיה. אז הנקודות האחרות הן

# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) ו- (2sqrt {7/3}, -qqrt {7/3}) #

לבדוק.

איך לבדוק? ללא שם: בואו לעשות העלילה אלפא.

x = 2 + xy + y = 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3 }

נראה טוב. חשבון על עקומות אלגבריות. די טוב לבית הספר התיכון.