איך להוכיח שהסדרה מתכנסת?

תשובה:

מתכנס על ידי מבחן השוואה ישירה.

הסבר:

אנו יכולים להשתמש במבחן ההשוואה הישירה, עד כמה שיש לנו

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2) #, IE, הסדרה מתחילה באחת.

כדי להשתמש במבחן ההשוואה הישירה, עלינו להוכיח זאת # a_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) # הוא חיובי ב # 1, oo #.

ראשית, שים לב כי על מרווח # 1, oo, cos (1 / k) # הוא חיובי. עבור ערכי #איקס # cosx # הוא ברבע הראשון (ולכן חיובי). ובכן, עבור #k> = 1, 1 / k לכן, #cos (1 / k) # הוא אכן חיובי.

יתר על כן, אנו יכולים לומר #cos (1 / k) <= 1 #, כפי ש #lim_ (k-> oo) cos (1 / k) = cos (0) = 1 #.

לאחר מכן, אנו יכולים להגדיר רצף חדש

# b_k = 1 (9k ^ 2)> = a_k # לכולם # k. #

ובכן, #sum_ (k = 1) ^ oo1 / (9k ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ oo1 / k ^ 2 #

אנחנו יודעים את זה מתכנס על ידי # p - #סדרת הבדיקה, היא בצורת # sum1 / k ^ p # איפה # p = 2> 1 #.

לאחר מכן, מאז סדרה גדולה יותר מתכנס, כך חייב סדרה קטנה יותר.

תשובה:

הוא מתכנס במבחן ההשוואה הישירה (ראה להלן פרטים).

הסבר:

להכיר בכך את טווח הקוסינוס הוא -1,1. בדוק את הגרף של #cos (1 / x) #:

גרף {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

כפי שאתה יכול לראות, מקסימום ערך זה יהיה להשיג יהיה 1. מאז אנחנו רק מנסים להוכיח התכנסות כאן, בואו להגדיר את המונה 1, עוזב:

# sum1 / (9k ^ 2) #

עכשיו, זה הופך להיות פשוטה מאוד פשוטה השוואה ישירה הבדיקה. נזכיר מה עושה מבחן ההשוואה הישירה:

חשבו על סדרה שרירותית # a_n # (איננו יודעים אם הוא מתכנס / מתנודד), וסדרה שעבורה אנו מכירים את ההתכנסות / הסטייה, # b_n #:

אם #b_n> a_n # ו # b_n # מתכנס # a_n # גם מתכנס.

אם #b_n <a_n # ו # b_n # ואז, ואז # a_n # גם סוטה.

אנו יכולים להשוות את הפונקציה הזו ל #b_n = 1 / k ^ 2 #. אנחנו יכולים לעשות את זה כי אנחנו יודעים שהוא מתכנס (בגלל הבדיקה p).

אז, מאז # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #, ו # 1 / k ^ 2 # מתכנס, אנו יכולים לומר כי סדרה מתכנסת

אבל, רגע, אנחנו רק הוכיח כי סדרה זו מתכנס כאשר המונה = 1. מה לגבי כל שאר הערכים #cos (1 / k) # יכול לקחת? ובכן, זכור כי 1 הוא מקסימום ערך שהמספר יכול לקחת. לכן, מאז הוכחנו כי זה מתכנס, הוכחנו בעקיפין כי סדרה זו התכנסו עבור כל ערך המונה.

מקווה שזה עזר:)

נניח שכל אוכלוסיית העולם מתכנסת בנקודה אחת, ובצליל של אות מסודר מראש, כולם קופצים. בעוד כל האנשים נמצאים באוויר, האם כדור הארץ לצבור תאוצה בכיוון ההפוך?

כן, המומנטום של כדור הארץ בהחלט ישתנה בזמן שהאנשים נמצאים באוויר. כפי שאתה יודע, חוק שימור המומנטום קובע כי המומנטום הכולל אינו משתנה עבור מערכת סגורה. כלומר, אם אתה מתמודד עם מערכת מבודדת מבחוץ, כלומר, אתה לא מקבל כוחות חיצוניים פועלים על זה, אז התנגשות בין שני חפצים תמיד לגרום לשימור המומנטום הכולל של המערכת. סך המומנטום הוא פשוט סכום המומנטום לפני ההתנגשות והתנופה לאחר ההתנגשות. עכשיו, אם אתה לוקח את כדור הארץ להיות מערכת סגורה, אז המומנטום של כדור הארץ + מערכת אנשים לפני קפיצת אנשים חייב להיות שווה המומנטום של כדור הארץ + אנשים המערכת בעוד כל האנשים נמצאים באוויר. מנקודת המבט של כדור הארץ, חשוב להבין כי ברגע שהאנשים יח

מה הם הערכים של r (עם r> 0) שעבורם הסדרה מתכנסת?

R <1 / e הוא תנאי ההתכנסות של סכום (n = 1) ^ on ^ ln (n) אני רק לענות על החלק על ההתכנסות, החלק הראשון שיש ענה על ההערות. אנו יכולים להשתמש r ^ ln (n) = n ^ ln (r) כדי לשכתב את סכום הסכום (n = 1) ^ oor ^ ln (n) בצורה sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = סכום 1 (n = 1) ^ 1 / n ^ p, qquad mbox {עבור} p = -ln (r) הסדרה בצד ימין היא סדרת הסדרה עבור הפונקציה המפורסמת רימן זיטה. זה ידוע היטב כי סדרה זו מתכנס כאשר p> 1. שימוש בתוצאה זו נותן ישירות - ln (r)> 1 מרמז ln (r) <- 1 מרמז r <e = -1 = 1 / e התוצאה על פונקציות רימן Zeta ידועה מאוד, אם אתה רוצה תשובה ראשונית AB , אתה יכול לנסות את הבדיקה אינטגרלי עבור התכנסות.

האם הסדרה sum_ (n = 0) ^ infty1 / (2n + 1)!) מתכנסת לחלוטין, מתכנסת או מותנית בהתניות?

"השווה את זה עם" sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2.7182818 ... "כל מונח שווה או קטן מזה של" sum_ {n = 0} ^ oo 1 (= n =) = exp = = = e = 2.7182818 ... "כל המונחים חיוביים ולכן סכום הסדרה הוא בין" 0 <S <e = 2.7182818 .... "אז הסדרה היא בהחלט מתכנס ".