מה הם הערכים של r (עם r> 0) שעבורם הסדרה מתכנסת?

תשובה:

#r <1 / e # הוא תנאי ההתכנסות של #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) #

הסבר:

אני רק עונה על החלק על ההתכנסות, את החלק הראשון שיש ענה על ההערות. אנחנו יכולים להשתמש # r ^ ln (n) = n ^ ln (r) # כדי לכתוב מחדש את הסכום #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) # בצורה

# num (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {for} p = -ln (r) #

הסדרה מימין היא סדרת הסדרה לפונקציה רימן זטה המפורסמת. זה ידוע היטב כי סדרה זו מתכנסת כאשר #p> 1 #. באמצעות תוצאה זו נותן ישירות

# -ln (r)> 1 מרמז ln (r) <- 1 מרמז r <e ^ -1 = 1 / e #

התוצאה על רימן זטה פונקציות ידועה מאוד, אם אתה רוצה מ ב ר אש ית תשובה, אתה יכול לנסות את הבדיקה אינטגרלי עבור התכנסות.